熊本大学 2025年度 前期数学② 第2問

(問1)
$C:y=x^2$の$x=t$における接線は$$y=2tx-t^2$$である。これが$(0,-4)$を通るためには$-t^2=-4$であるから、$t=\pm 2$である。したがって二本の接線は$$y=4x-4,y=-4x-4$$である。求める面積は$$2{\int }_0^2\{x^2-(4x-4)\}dx=2{\int }_0^2(x-2{)}^{2}dx=\frac{16}{3}$$である。

(問2)
接線$l:y=ax+b$の接点の$x$座標を$t$とすると、$a=2t$、$b=-t^2$である。$a>0$より$t>0$である。$x$軸との交点は$x=t\mathrm{/}2$であるから、$C$、$x$軸、$l$で囲まれる部分の面積は$${\int }_0^{t\mathrm{/}2}{x}^{2}dx+{\int }_{t\mathrm{/}2}^t(x-t{)}^{2}dx=\frac{t^3}{12}$$である。これが$16\mathrm{/}3$に等しいので$t=4$である。よって$$a=8,b=-16$$である。

(問3)
二つの接点の$x$座標を$u<v$とする。接線$$y=2ux-u^2,y=2vx-v^2$$の交点を$(p,q)$とすると$$p=\frac{u+v}{2},q=uv$$である。また囲まれる面積は$${\int }_u^{(u+v)\mathrm{/}2}(x-u{)}^{2}dx+{\int }_{(u+v)\mathrm{/}2}^v(x-v{)}^{2}dx=\frac{(v-u{)}^3}{12}$$である。これが$16\mathrm{/}3$に等しいので$v-u=4$である。したがって$$4(p^2-q)=(u+v{)}^2-4uv=(v-u{)}^2=16$$より$$q=p^2-4$$である。ゆえに求める軌跡は$$y=x^2-4$$である。

【接点パラメータの図】

接線と放物線の差は $x^2-(2tx-t^2)=(x-t{)}^2$ であり，面積積分が三乗になる理由もここから見える。

点 $(p,q)$ を通る接線の接点 $t$ は $t^2-2pt+q=0$ の二根である。二接点の差と判別式を結び，面積を $p^2-q$ だけの式にする。

(問3)
接点 $t$ における接線 $y=2tx-t^2$ が $(p,q)$ を通る条件は$$t^2-2pt+q=0$$である。異なる二接線をもつので $p^2-q>0$ であり，二接点は$$t_1=p+\sqrt{p^2-q},t_2=p-\sqrt{p^2-q}\mathrm{.}$$標準解法の積分から，二接線と放物線で囲まれる面積は$$\frac{(t_1-t_2{)}^3}{12}=\frac{2}{3}(p^2-q{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$これが $16\mathrm{/}3$ だから$$(p^2-q{)}^{3\mathrm{/}2}=8,p^2-q=4.$$したがって軌跡は$$q=p^2-4$$である。この放物線上では常に $p^2-q=4>0$ なので，実際に異なる二接線が存在する。