京都大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ は、それぞれ $x$ 軸、$y$ 軸上の零でないベクトルである。したがって互いに平行でなく、平面上の任意のベクトルはこの2つの一次結合で一通りに表せる。
そこで $$\overrightarrow{OC}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$$ とおく。
一次変換の線形性より$$f(\overrightarrow{OC})=sf(\overrightarrow{OA})+tf(\overrightarrow{OB})=s\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}$$である。これが $\overrightarrow{OA}$ に等しいから、上の表示を代入して$$s\overrightarrow{OB}+t(s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{OA}$$となる。すなわち $$ts\overrightarrow{OA}+(s+t^2)\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}$$ である。 $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ の表示は一意なので、係数を比較して $ts=1,s+t^2=0$ を得る。第2式から $s=-t^2$ であり、これを第1式に代入すると $-t^3=1$ である。$t$ は実数だから $t=-1$、よって $s=-1$ である。
したがって $$\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$$ となり、$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$$ が示された。

(2)
平面上の点 $P$ に対して $$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$$ とおく。(1) の結果を用いると$$f(\overrightarrow{OP})=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OB}+y(-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})=-y\overrightarrow{OA}+(x-y)\overrightarrow{OB}$$である。
いま $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ は直交し、さらに $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}\mathrm{\mid }$$ である。したがって交差項は消え、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OP}\cdot f(\overrightarrow{OP})}& {\displaystyle =(x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB})\cdot \{-y\overrightarrow{OA}+(x-y)\overrightarrow{OB}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-xy\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}{\mathrm{\mid }}^2+y(x-y)\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-y^2\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}{\mathrm{\mid }}^2}\end{array}$$となる。 $\overrightarrow{OP}$ と $f(\overrightarrow{OP})$ が直交するなら、この内積は $0$ である。$A$ は原点と異なるので $\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ であり、上式から $y=0$ が従う。
よって $$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}$$ である。$\overrightarrow{OA}$ は $x$ 軸上のベクトルだから、点 $P$ は $x$ 軸上にある。
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$\overrightarrow{OA}=(a,0),\overrightarrow{OB}=(0,b)$ と置き、
$\overrightarrow{OC}$ をこの2ベクトルの係数で表す。変換を3回適用する条件から係数を決め、内積条件を成分で調べる。

(1) $$\overrightarrow{OC}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$$ と置く。$$f(\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{OA}$$ と線形性より$$s\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}\mathrm{.}$$$\overrightarrow{OC}$ を代入して係数を比較すると$$ts=1,s+t^2=0.$$よって $t=-1,s=-1$ であり$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}\mathrm{.}$$(2) 共通の長さを $r$ とし、$$\overrightarrow{OA}=(r,0),\overrightarrow{OB}=(0,\epsilon r)$$ と置く。ただし $\epsilon =\pm 1$ である。$$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$$ なら (1) より$$f(\overrightarrow{OP})=-y\overrightarrow{OA}+(x-y)\overrightarrow{OB}\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{OP}\cdot f(\overrightarrow{OP})=-y^2{r}^2\mathrm{.}$$直交条件から $y=0$ となるので $P$ は $x$ 軸上にある。