京都大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

与式を整理すると$$x_{n+1}-p{y}_{n+1}=x_n+p{y}_n,p{x}_{n+1}+y_{n+1}=y_n-p{x}_n$$である。第1式に $p$ を掛けて第2式と加えると$$(1+p^2)y_{n+1}=(1-p^2)y_n-2p{x}_n\mathrm{.}$$また第2式に $p$ を掛け、第1式から引くと$$(1+p^2)x_{n+1}=(1-p^2)x_n+2p{y}_n\mathrm{.}$$$1+p^2>0$ だから$$x_{n+1}={\displaystyle \frac{(1-p^2)x_n+2p{y}_n}{1+p^2}},y_{n+1}={\displaystyle \frac{(1-p^2)y_n-2p{x}_n}{1+p^2}}\mathrm{.}$$$p,x_n,y_n$ が有理数なら右辺も有理数である。$x_1,y_1$ は有理数なので、数学的帰納法によりすべての
$x_n,y_n$ は有理数である。

次に元の式を差の形で書くと$$x_{n+1}-x_n=p(y_{n+1}+y_n),y_{n+1}-y_n=-p(x_{n+1}+x_n)\mathrm{.}$$第1式に $x_{n+1}+x_n$、第2式に $y_{n+1}+y_n$ を掛けて加えると右辺は打ち消し合い$$x_{n+1}^2+y_{n+1}^2=x_n^2+y_n^2$$を得る。したがって$$x_n^2+y_n^2=x_1^2+y_1^2$$である。$P_1$ は原点でないので右辺は正であり、すべての $P_n$ は原点中心、半径
$\sqrt{x_1^2+y_1^2}$ の定円上にある。
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$z_n=x_n+i{y}_n$ と置き、2本の漸化式を1本の複素数の式にまとめる。
毎回掛かる複素数の絶対値が1であることから定円性を示し、実部・虚部の式から有理性も確認する。

$z_n=x_n+i{y}_n$ と置く。与式から$$z_{n+1}-z_n=p(y_{n+1}+y_n)-ip(x_{n+1}+x_n)=-ip(z_{n+1}+z_n)\mathrm{.}$$よって$$(1+ip)z_{n+1}=(1-ip)z_n,z_{n+1}={\displaystyle \frac{1-ip}{1+ip}}{z}_n\mathrm{.}$$分母を実数化すると$${\displaystyle \frac{1-ip}{1+ip}}={\displaystyle \frac{1-p^2}{1+p^2}}-i{\displaystyle \frac{2p}{1+p^2}}\mathrm{.}$$係数の実部・虚部は有理数なので、$x_n,y_n$ が有理数なら $x_{n+1},y_{n+1}$ も有理数である。
帰納法により全項が有理数である。

また$$\mid {\displaystyle \frac{1-ip}{1+ip}}\mid =1$$だから $\mathrm{\mid }{z}_{n+1}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }$ である。したがって$$\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}_1\mathrm{\mid }=\sqrt{x_1^2+y_1^2}>0,$$よって $P_n$ は原点中心の定円上にある。