京都大学 1987年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第5問

ペンダントの表を手前にして位置を固定すると、左右が区別される。両隣にダイヤモンドを1個ずつ置く。

(1) 残る$g+d-2$個の場所のうち、$d-2$個をダイヤモンドの場所として選べばよい。したがって$${}_{g+d-2}{\mathrm{C}}_{d-2}$$通りである。

(2) 両端のダイヤモンドの間に、まず$g$個のガラス玉を並べる。端のダイヤモンドと隣り合わず、またダイヤモンド同士も隣り合わないため、残る$d-2$個のダイヤモンドは、ガラス玉どうしの$g-1$個の隙間に高々1個ずつ入れる。よって$$\{\begin{array}{ll}{}_{g-1}{\mathrm{C}}_{d-2},& d\le g+1,\\ 0,& d>g+1\end{array}$$通りである。

ペンダントを固定して輪を一列に開く。(1)はガラス玉の位置を選ぶ。(2)は両端を除く位置から隣り合わない $d-2$ 個を選び、番号を詰める標準的な全単射で数える。

ペンダントの表を手前に固定して輪を切り開くと、左右は区別される。ペンダントの両隣にはダイヤモンドを固定する。

(1)
残る $g+d-2$ 個の場所から、$g$ 個のガラス玉の位置を選べばよい。したがって$${}_{g+d-2}{\mathrm{C}}_g={}_{g+d-2}{\mathrm{C}}_{d-2}$$通りである。

(2)
残る一直線上の $N=g+d-2$ 個の場所を左から $1,\dots ,N$ とする。両端の場所1と $N$ にダイヤモンドを置くと、ペンダント隣の固定ダイヤモンドと隣り合ってしまう。したがって残る $r=d-2$ 個のダイヤモンドは、内部の $N-2$ 個の場所から互いに隣り合わないように選ぶ。

選んだ番号を$$2\leqq i_1<i_2<\cdots <i_r\leqq N-1,i_{j+1}\geqq i_j+2$$とする。$j_j=i_j-(j-1)$ と詰めれば、これは$$2\leqq j_1<j_2<\cdots <j_r\leqq N-r$$を満たす通常の選び方と一対一に対応する。よって通り数は$${}_{N-r-1}{\mathrm{C}}_r={}_{g-1}{\mathrm{C}}_{d-2}\mathrm{.}$$これは $d-2\leqq g-1$、すなわち $d\leqq g+1$ のときであり、それ以外は0通りである。