京都大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

使われる数字の出現回数はすべて2以上で、合計が6である。可能な型は$$6,4+2,3+3,2+2+2$$だけである。

それぞれの個数は$$n,$$$$n(n-1){\displaystyle \frac{6!}{4!2!}}=15n(n-1),$$$${}_n{\mathrm{C}}_2{\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}=10n(n-1),$$$${}_n{\mathrm{C}}_3{\displaystyle \frac{6!}{2!2!2!}}=15n(n-1)(n-2)$$である。従って総数は$$n+25n(n-1)+15n(n-1)(n-2)=15n^3-20n^2+6n\mathrm{.}$$

使われる相異なる数字の個数を1個、2個、3個に分ける。2個の場合は全2色列から一方が1回だけまたは全く現れない列を除き、3個の場合は各2回と確定する。

条件より、使われる各数字は少なくとも2回現れる。したがって相異なる数字の個数は1，2，3のいずれかである。

1個だけなら、数字の選び方から$n$個である。

2個なら、数字の組は${}_n{\mathrm{C}}_2$通り。固定した2数字による長さ6の列は$2^6$個ある。このうち一方が0回の列は2個、一方が1回の列は$$2\cdot {}_6{\mathrm{C}}_1=12$$個なので、条件を満たす列は$$2^6-2-12=50$$個である。寄与は$$50{}_n{\mathrm{C}}_2=25n(n-1)$$。

3個なら各数字がちょうど2回である。よって$${}_n{\mathrm{C}}_3{\displaystyle \frac{6!}{2!2!2!}}=15n(n-1)(n-2)\mathrm{.}$$以上の和は$$n+25n(n-1)+15n(n-1)(n-2)=15n^3-20n^2+6n\mathrm{.}$$