京都大学 1987年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

$h(x)=x^3+a{x}^2$とおくと$f(x)>0$は$b>-\min h$と同値である。$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=x(3x+2a)\mathrm{.}$$$a\ge 0$では$h$は増加し最小値は$h(0)=0$。$-{\displaystyle \frac{3}{2}}\le a<0$では$$x=-{\displaystyle \frac{2a}{3}}$$で最小となり、その値は${\displaystyle \frac{4a^3}{27}}$。$a<-{\displaystyle \frac{3}{2}}$では区間全体で減少し最小値は$h(1)=1+a$である。よって求める範囲は$$\{\begin{array}{ll}b>-a-1,& a<-{\displaystyle \frac{3}{2}},\\ b>-{\displaystyle \frac{4a^3}{27}},& -{\displaystyle \frac{3}{2}}\le a<0,\\ b>0,& a\ge 0.\end{array}$$各境界上では区間内のある点で$f=0$となるので境界は含まない。したがって、連続につながる3本の境界曲線の上側を図示すればよい。

正の領域の境界では、最小点で $f=0$ となる。最小点が左端・区間内部・右端のいずれかにある場合を、接点 $t$ を用いて媒介表示する。

求める領域の境界では、区間 $[0,1]$ のある最小点 $t$ で$$f(t)=0$$となる。

最小点が左端 $t=0$ の場合は $f(0)=b=0$ であり、右向きに増加する条件から $a\geqq 0$ である。

最小点が内部 $0<t<1$ にある場合は$$f^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2+2at=0$$なので$$a=-{\displaystyle \frac{3}{2}}t\mathrm{.}$$さらに $f(t)=0$ から$$b=-t^3-a{t}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^3\mathrm{.}$$$0\leqq t\leqq 1$ を消去すると$$b=-{\displaystyle \frac{4a^3}{27}},-{\displaystyle \frac{3}{2}}\leqq a\leqq 0.$$最小点が右端 $t=1$ の場合は$$f(1)=1+a+b=0$$だから $b=-a-1$ であり、左から減少して右端で最小となる条件は $a\leqq -3\mathrm{/}2$ である。

各境界上では最小値が0なので含まれず、求めるのは境界より上側である。したがって$$\{\begin{array}{ll}b>-a-1& (a<-{\displaystyle \frac{3}{2}}),\\ b>-{\displaystyle \frac{4a^3}{27}}& (-{\displaystyle \frac{3}{2}}\leqq a<0),\\ b>0& (a\geqq 0)\end{array}$$となる。