京都大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

$z=x+iy$ とおく。分母を払うと$$2z+2i=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2+2i\bar{z}\mathrm{.}$$両辺を実部と虚部に分けると$$2x=x^2+y^2+2y,2y+2=2x\mathrm{.}$$第2式から $x=y+1$ である。これを第1式へ代入すると$$2(y+1)=(y+1{)}^2+y^2+2y,$$すなわち$$2y^2+2y-1=0.$$よって$$y={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}},x=y+1={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{3}}{2}}$$であり、複号は同順である。したがって$$z={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}}{2}}i,z={\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{-1-\sqrt{3}}{2}}i$$である。どちらも $z+2i\mathrm{\ne }0$ を満たす。