京都大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

まず命題$\mathbf{p}$を調べる。整数$N$について$$\sqrt{N}={\displaystyle \frac{r}{s}}(\gcd (r,s)=1,s>0)$$と書けるなら、$N{s}^2=r^2$より$s\mid r$である。したがって$s=1$であり、$N$は平方数である。したがって、$\sqrt{n}$ と $\sqrt{n+1}$ がともに有理数なら、ある整数 $r,s$ を用いて $n=r^2,n+1=s^2$ と表せる。ただし $n+1>n$ なので $s>r\geqq 1$ である。このとき $s^2-r^2=1$ すなわち $(s-r)(s+r)=1$ である。しかし $s>r\geqq 1$ なら $s-r\geqq 1,s+r\geqq 3$ であり、積が1になることはない。よってそのような $n$ は存在しない。したがって命題 $\mathbf{p}$ は正しくない。

次に命題 $\mathbf{q}$ を調べる。ある $n\geqq 1$ について $$r=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$ が有理数であると仮定する。この $r$ は正であるから、${\displaystyle \frac{1}{r}}$ も有理数である。ところが $${\displaystyle \frac{1}{r}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$$ である。したがって $\sqrt{n+1}-\sqrt{n},\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ がともに有理数である。

この2式を足し引きすると$$\sqrt{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\}$$および$$\sqrt{n}={\displaystyle \frac{1}{2}}\{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})-(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\}$$も有理数になる。これは、命題 $\mathbf{p}$ の検討で示した「$n\geqq 1$ では $\sqrt{n}$ と $\sqrt{n+1}$ がともに有理数になることはない」という事実に反する。

よってすべての $n\geqq 1$ について $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ は無理数である。したがって命題 $\mathbf{q}$ は正しい。

命題$\mathbf{p}$は連続する平方数の不存在で否定する。命題$\mathbf{q}$では差が有理数と仮定して2乗し、$\sqrt{n(n+1)}$が有理数になることを導く。互いに素な$n,n+1$の積が平方数なら両方が平方数となるため矛盾する。

整数$N$について$\sqrt{N}$が有理数なら、$N$は整数の平方である。実際、$$\sqrt{N}={\displaystyle \frac{r}{s}}(\gcd (r,s)=1,s>0)$$とおくと$N{s}^2=r^2$である。これより$s\mid r$となるので$s=1$である。

命題$\mathbf{p}$

もし命題が正しければ、ある正の整数$r,s$について$$n=r^2,n+1=s^2$$となる。よって$$1=s^2-r^2=(s-r)(s+r)\mathrm{.}$$しかし$s>r\geqq 1$なので$s-r\geqq 1,s+r\geqq 3$であり、積は1にならない。したがって命題$\mathbf{p}$は正しくない。

命題$\mathbf{q}$

ある$n\geqq 1$について$$t=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$が有理数であると仮定する。両辺を2乗すると$$t^2=2n+1-2\sqrt{n(n+1)}$$だから、$\sqrt{n(n+1)}$も有理数である。したがって$n(n+1)$は平方数である。

ところが$\gcd (n,n+1)=1$である。互いに素な2整数の積が平方数なら、素因数の指数を比較することで各整数がそれぞれ平方数だと分かる。すると$n,n+1$は連続する正の平方数となり、命題$\mathbf{p}$の検討に反する。

ゆえに差は常に無理数であり、命題$\mathbf{q}$は正しい。