九州大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 文系理系数学 第1問（理系 第2問）

(1)
定義より $$a_2=a_1(1-{\displaystyle \frac{1}{10}})=1\cdot {\displaystyle \frac{9}{10}}=0.9$$ である。また $$a_3=a_2(1-{\displaystyle \frac{1}{{10}^2}})=0.9\cdot 0.99=0.891$$ である。

(2)
各 $n\geqq 1$ について $0<1-{\displaystyle \frac{1}{{10}^n}}<1$ である。したがって $a_1>0$ からすべての $a_n$ は正であり、しかも数列 $a_n$ は単調に減少する。特に $n\geqq 2$ なら $a_n\leqq a_2=0.9$ である。

また漸化式から $$a_n-a_{n+1}=a_n-a_n(1-{\displaystyle \frac{1}{{10}^n}})={\displaystyle \frac{a_n}{{10}^n}}$$ である。$n\geqq 2$ では $a_n\leqq 0.9$ だから $$a_n-a_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{0.9}{{10}^n}}={\displaystyle \frac{9}{{10}^{n+1}}}$$ である。

(3) $n=1$ では $a_1=1>0.89$、$n=2$ では $a_2=0.9>0.89$ である。 $n\geqq 3$ とする。(2) の差の評価を足し合わせると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_2-a_n}& {\displaystyle =(a_2-a_3)+(a_3-a_4)+\cdots +(a_{n-1}-a_n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq \sum _{k=2}^{n-1}{\displaystyle \frac{9}{{10}^{k+1}}}}\end{array}$$である。右辺は有限和なので$$\sum _{k=2}^{n-1}{\displaystyle \frac{9}{{10}^{k+1}}}<\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{9}{{10}^{k+1}}}={\displaystyle \frac{9}{{10}^3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{10}}}}={\displaystyle \frac{1}{100}}$$である。したがって $$a_n>a_2-{\displaystyle \frac{1}{100}}=0.9-0.01=0.89$$ となる。以上より、すべての $n$ に対して $a_n>0.89$ が成り立つ。

一般項を有限個の因子の積で表す。最初の因子 $0.9$ を分け、残りには
$(1-x_2)\cdots (1-x_m)\geqq 1-(x_2+\cdots +x_m)$ を使うと
$0.89$ の下界が直接出る。
差の評価も有限積から確認する。

(1) $$a_2=1(1-{\displaystyle \frac{1}{10}})=0.9,a_3=0.9(1-{\displaystyle \frac{1}{100}})=\mathrm{0.891.}$$(2)
$n\geqq 2$ では$$a_n=0.9(1-{\displaystyle \frac{1}{{10}^2}})(1-{\displaystyle \frac{1}{{10}^3}})\cdots (1-{\displaystyle \frac{1}{{10}^{n-1}}})\leqq \mathrm{0.9.}$$また$$a_n-a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{{10}^n}}\leqq {\displaystyle \frac{9}{{10}^{n+1}}}\mathrm{.}$$(3)
$0\leqq x_k\leqq 1$ に対する$$(1-x_2)(1-x_3)\cdots (1-x_m)\geqq 1-(x_2+x_3+\cdots +x_m)$$は展開または帰納法で分かる。したがって $n\geqq 2$ なら$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle \geqq 0.9(1-\sum _{k=2}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{{10}^k}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle >0.9(1-\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{{10}^k}})=0.9(1-{\displaystyle \frac{1}{90}})=\mathrm{0.89.}}\end{array}$$$a_1=1$ も同じ不等式を満たす。