九州大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
まず$$a_{n+1}-1={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n+{\displaystyle \frac{1}{a_n}})-1={\displaystyle \frac{a_n^2-2a_n+1}{2a_n}}={\displaystyle \frac{(a_n-1{)}^2}{2a_n}}$$である。$a_1=2>1$ であり，$a_n>1$ なら右辺は正なので $a_{n+1}>1$ である。よって帰納法により，すべての $n$ で $a_n>1$ が成り立つ。

次に$$a_n-a_{n+1}=a_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n+{\displaystyle \frac{1}{a_n}})={\displaystyle \frac{a_n^2-1}{2a_n}}$$である。$a_n>1$ より右辺は正なので $a_{n+1}<a_n$ である。したがって $$a_n>1,a_{n+1}<a_n$$ がすべての $n$ で成り立つ。

(2)
まず $$a_2={\displaystyle \frac{1}{2}}(2+{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{5}{4}}$$ である。したがって$$a_3={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{5}{4}}+{\displaystyle \frac{4}{5}})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{41}{20}}={\displaystyle \frac{41}{40}}$$である。

(1) より数列は $1$ より大きく単調減少するので，$n\geqq 3$ では $$1<a_n\leqq a_3={\displaystyle \frac{41}{40}}$$ である。基本式 $$a_{n+1}-1={\displaystyle \frac{(a_n-1{)}^2}{2a_n}}$$ において $$2a_n\leqq {\displaystyle \frac{41}{20}}$$ だから $${\displaystyle \frac{1}{2a_n}}\geqq {\displaystyle \frac{20}{41}}$$ である。よって $$a_{n+1}-1\geqq {\displaystyle \frac{20}{41}}(a_n-1{)}^2(n\geqq 3)$$ が成り立つ。

(3)
まず $n=3$ のときを確認する。$p_3=2^0=1$ なので $$b_3={\displaystyle \frac{41}{20}}\left({\displaystyle \frac{1}{82}}\right)={\displaystyle \frac{1}{40}}$$ である。一方，$$a_3-1={\displaystyle \frac{41}{40}}-1={\displaystyle \frac{1}{40}}$$ だから $a_3-1=b_3$ である。

次に，ある $n\geqq 3$ で $a_n-1\geqq b_n$ が成り立つと仮定する。(2) より $$a_{n+1}-1\geqq {\displaystyle \frac{20}{41}}(a_n-1{)}^2$$ であるから $$a_{n+1}-1\geqq {\displaystyle \frac{20}{41}}{b}_n^2$$ である。ここで $$b_n={\displaystyle \frac{41}{20}}{\left({\displaystyle \frac{1}{82}}\right)}^{p_n},p_{n+1}=2p_n$$ なので$${\displaystyle \frac{20}{41}}{b}_n^2={\displaystyle \frac{20}{41}}{\left\{{\displaystyle \frac{41}{20}}{\left({\displaystyle \frac{1}{82}}\right)}^{p_n}\right\}}^2={\displaystyle \frac{41}{20}}{\left({\displaystyle \frac{1}{82}}\right)}^{2p_n}=b_{n+1}$$である。したがって $a_{n+1}-1\geqq b_{n+1}$ が成り立つ。数学的帰納法により $$a_n-1\geqq b_n(n\geqq 3)$$ が示された。

誤差 $e_n=a_n-1$ を導入し、漸化式を $e_{n+1}=e_n^2\mathrm{/}(2a_n)$ と書く。単調性から $a_n\leqq a_3$ を得た後、$c_n=(20\mathrm{/}41)e_n$ と正規化すると $c_{n+1}\geqq c_n^2$ になる。これを繰り返して二重指数型の下界を直接得る。

(1) $$a_{n+1}-1={\displaystyle \frac{(a_n-1{)}^2}{2a_n}},a_n-a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n^2-1}{2a_n}}\mathrm{.}$$$a_1=2>1$ から帰納的に $a_n>1$ であり、そのとき第2式の右辺も正なので$$a_{n+1}<a_n\mathrm{.}$$(2)$$a_2={\displaystyle \frac{5}{4}},a_3={\displaystyle \frac{41}{40}}\mathrm{.}$$$n\geqq 3$ では$$1<a_n\leqq {\displaystyle \frac{41}{40}}$$である。したがって$$a_{n+1}-1={\displaystyle \frac{(a_n-1{)}^2}{2a_n}}\geqq {\displaystyle \frac{20}{41}}(a_n-1{)}^2\mathrm{.}$$(3)$$e_n=a_n-1,c_n={\displaystyle \frac{20}{41}}{e}_n$$とおく。(2) から$$c_{n+1}\geqq c_n^2\mathrm{.}$$また$$c_3={\displaystyle \frac{20}{41}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{40}}={\displaystyle \frac{1}{82}}\mathrm{.}$$よって二乗評価を $n-3$ 回繰り返すと$$c_n\geqq {\left({\displaystyle \frac{1}{82}}\right)}^{2^{n-3}}\mathrm{.}$$したがって$$a_n-1=e_n\geqq {\displaystyle \frac{41}{20}}{\left({\displaystyle \frac{1}{82}}\right)}^{2^{n-3}}=b_n$$である。