九州大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 理系理系数学 第1問

(1) $$\overrightarrow{OP}=(a,c),\overrightarrow{OQ}=(b,d)$$ とおく。単位円上の点 $(x,y)$ は $x^2+y^2=1$ を満たす。この点の移り先は $x\overrightarrow{OP}+y\overrightarrow{OQ}$ である。

仮定より$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }=1,\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}\mathrm{\mid }=1,\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=0$$である。したがって移り先の長さの2乗は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }x\overrightarrow{OP}+y\overrightarrow{OQ}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =x^2\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2+y^2\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}{\mathrm{\mid }}^2+2xy\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2+y^2=1}\end{array}$$である。よって単位円 $C$ 上の任意の点は、再び $C$ 上の点へ移る。

(2)
逆に、単位円 $C$ 上の任意の点が $C$ 上の点へ移るとする。

まず $(1,0)$ は $(a,c)$ に移るので $a^2+c^2=1$ である。したがって $P$ は $C$ 上にある。同様に $(0,1)$ は $(b,d)$ に移るので $b^2+d^2=1$ であり、$Q$ も $C$ 上にある。

さらに、単位円上の点 $({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$ を考える。この点の移り先は $({\displaystyle \frac{a+b}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{c+d}{\sqrt{2}}})$ であり、これも単位円上にあるので $${\displaystyle \frac{(a+b{)}^2+(c+d{)}^2}{2}}=1$$ である。すでに得た $a^2+c^2=1$、$b^2+d^2=1$ を代入すると $${\displaystyle \frac{2+2(ab+cd)}{2}}=1$$ だから $ab+cd=0$ である。これは $$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=0$$ を意味する。よって $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ は直交している。

円周上の点を $(\cos \theta ,\sin \theta )$ と表し、像の長さの2乗を展開する。
順方向は恒等的に1になることを示し、逆方向は3つの角を代入して条件を取り出す。

円周上の点を $(\cos \theta ,\sin \theta )$ とする。像の長さの2乗は$$H(\theta )=(a\cos \theta +b\sin \theta {)}^2+(c\cos \theta +d\sin \theta {)}^2\mathrm{.}$$(1)
$a^2+c^2=b^2+d^2=1$、$ab+cd=0$ なら$$H(\theta )={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1.$$(2)
逆に常に $H(\theta )=1$ とする。
$\theta =0,\pi \mathrm{/}2$ を代入して$$a^2+c^2=1,b^2+d^2=1.$$$\theta =\pi \mathrm{/}4$ を代入すると$${\displaystyle \frac{(a+b{)}^2+(c+d{)}^2}{2}}=1$$なので、上の2式から $ab+cd=0$ を得る。よって $P,Q$ は単位円上に
あり、$\overrightarrow{OP}\perp \overrightarrow{OQ}$ である。