九州大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
正三角形を$$A=(0,0),B=(1,0),C=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$と置く。$A{P}_n=x_n$ なので $P_n=(x_n,0)$ である。

辺 $BC$ の傾きは $-\sqrt{3}$ だから、$P_n{Q}_n$ の傾きは ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ である。辺 $BC$ 上の点を $$Q_n=(1-{\displaystyle \frac{u}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}u)$$ とおく。$Q_n$ が $P_n$ を通り傾き ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ の直線上にあることから $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}u={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}(1-{\displaystyle \frac{u}{2}}-x_n)$$ である。これを整理して $$u={\displaystyle \frac{1-x_n}{2}}$$ を得る。したがって $$Q_n=({\displaystyle \frac{3+x_n}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}(1-x_n)}{4}})$$ である。

次に $CA$ の傾きは $\sqrt{3}$ なので、$Q_n{R}_n$ の傾きは $-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ である。$R_n$ は $CA$ 上にあるから $R_n=(v,\sqrt{3}v)$ とおける。$Q_n{R}_n$ の傾きを用いると$$\sqrt{3}v-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}(1-x_n)}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}(v-{\displaystyle \frac{3+x_n}{4}})$$である。整理すると $$v={\displaystyle \frac{3-x_n}{8}}$$ となる。最後に $R_n{P}_{n+1}$ は $AB$ に垂直、すなわち鉛直であるから $$P_{n+1}=({\displaystyle \frac{3-x_n}{8}},0)$$ である。よって $$x_{n+1}={\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}_n$$ である。

(2)
(1)より $$x_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{8}}(x_n-{\displaystyle \frac{1}{3}})$$ である。$P_0$ は辺 $AB$ の中点なので $$x_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。したがって$$x_n-{\displaystyle \frac{1}{3}}={(-{\displaystyle \frac{1}{8}})}^n({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{1}{6}}{(-{\displaystyle \frac{1}{8}})}^n$$であり、$$x_n={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}{(-{\displaystyle \frac{1}{8}})}^n$$ である。

(3)
まず3つの三角形の面積を $x_n$ で表す。$\mathrm{△}{P}_{n}B{Q}_n$ は底辺 $PB=1-x_n$、高さ ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}(1-x_n)}{4}}$ だから $$[P_{n}B{Q}_n]={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}(1-x_n{)}^2$$ である。

また、座標計算により $$[Q_{n}C{R}_n]={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{32}}(1+x_n{)}^2$$ である。さらに$$R_n=({\displaystyle \frac{3-x_n}{8}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}(3-x_n)}{8}}),P_{n+1}=({\displaystyle \frac{3-x_n}{8}},0)$$なので $$[R_{n}A{P}_{n+1}]={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{128}}(3-x_n{)}^2$$ である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}(1-x_n{)}^2+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{32}}(1+x_n{)}^2+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{128}}(3-x_n{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{128}}(21x_n^2-30x_n+29)\mathrm{.}}\end{array}$$(2)より $$x_n\to {\displaystyle \frac{1}{3}}$$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{128}}(21\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}-30\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+29)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{128}}({\displaystyle \frac{7}{3}}+19)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$

各段階に現れる30度・60度・90度の直角三角形で、斜辺の半分を次の辺上の長さとして追う。座標を使わずに漸化式と3つの面積を得る。

(1)

$A{P}_n=x_n$ だから $P_{n}B=1-x_n$ である。
$\mathrm{△}{P}_{n}B{Q}_n$ は $Q_n$ を直角とし、$\mathrm{\angle }B={60}^{\circ }$ だから$$B{Q}_n={\displaystyle \frac{1-x_n}{2}}\mathrm{.}$$よって$$C{Q}_n=1-B{Q}_n={\displaystyle \frac{1+x_n}{2}}\mathrm{.}$$同様に $\mathrm{△}{Q}_{n}C{R}_n$ から$$C{R}_n={\displaystyle \frac{C{Q}_n}{2}}={\displaystyle \frac{1+x_n}{4}},A{R}_n={\displaystyle \frac{3-x_n}{4}}\mathrm{.}$$さらに $\mathrm{△}{R}_{n}A{P}_{n+1}$ から$$x_{n+1}=A{P}_{n+1}={\displaystyle \frac{A{R}_n}{2}}={\displaystyle \frac{3-x_n}{8}}\mathrm{.}$$(2)$$x_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{8}}(x_n-{\displaystyle \frac{1}{3}})\mathrm{.}$$$x_0=1\mathrm{/}2$ だから$$x_n={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}{(-{\displaystyle \frac{1}{8}})}^n\mathrm{.}$$(3)

斜辺が $h$ の30度・60度・90度の直角三角形の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{h}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}h}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}{h}^2$$である。3つの三角形の斜辺は順に$$1-x_n,{\displaystyle \frac{1+x_n}{2}},{\displaystyle \frac{3-x_n}{4}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n=}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}(1-x_n{)}^2+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{32}}(1+x_n{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{128}}(3-x_n{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$$x_n\to 1\mathrm{/}3$ を代入して$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}\mathrm{.}$$