九州大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
4本の直線が一般の位置にあるとき，有限な部分は三角形状の部分が3個できる。したがって $P_2(4)=3$ である。

5本目を加えると，その直線は既存の4本と4点で交わる。新しい直線上には長さが有限な部分が $4-1=3$ 個でき，それぞれが有限な部分を一つ増やす。したがって $P_2(5)=P_2(4)+3=6$ であり，$P_2(5)=6$ である。

(2) $k$ 本の直線がある状態から，新しく1本の直線を加える。この新しい直線は，既存の $k$ 本の直線と互いに異なる $k$ 個の点で交わる。したがって，新しい直線は $k-1$ 個の長さが有限な部分と，2個の長さが有限でない部分に分けられる。

長さが有限な各部分は，それまでの平面の一つの部分を切って，新しい有限な部分を一つ作る。一方，両端の長さが有限でない部分は有限な部分を作らない。よって $P_2(k+1)=P_2(k)+k-1$ である。

(3) $P_2(1)=0$ である。(2) の関係式を繰り返し用いると $$P_2(k)=\sum _{j=1}^{k-1}(j-1)$$ である。したがって $$P_2(k)=0+1+2+\cdots +(k-2)$$ となる。よって $$P_2(k)={\displaystyle \frac{(k-1)(k-2)}{2}}$$ である。

一般の位置にある $k$ 本の直線が作る全領域数と、無限に広がる領域数を別々に数える。全領域は直線を1本加えるごとに $k$ 個ずつ増え、無限領域は各直線の両側の端に対応して $2k$ 個である。その差が有限領域数になる。

$k$ 本の直線が作る全領域数を $R(k)$ とする。新しい1本は既存の $k$ 本と相異なる $k$ 点で交わり、$k+1$ 個の部分に分かれる。その各部分が既存領域を一つずつ分けるので$$R(k+1)=R(k)+k+1.$$$$R(0)=1$$から$$R(k)=1+{\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}\mathrm{.}$$一方、無限に広がる領域は $k\geqq 1$ のとき $2k$ 個である。実際、直線を1本加えるたびに、その直線の両端にある2個の半直線が無限領域を一つずつ分けるので、無限領域は2個増える。

したがって有限領域数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_2(k)}& {\displaystyle =R(k)-2k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}-2k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(k-1)(k-2)}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$(1)$$P_2(4)=3,P_2(5)=6.$$(2)
一般式から直接、$$P_2(k+1)-P_2(k)=k-1,$$すなわち$$P_2(k+1)=P_2(k)+k-1$$である。

(3)
以上より$$P_2(k)={\displaystyle \frac{(k-1)(k-2)}{2}}$$である。