九州大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
四角錐の高さを $h=EO$ とおく。また，側面三角形の斜高を $l$ とする。正方形の中心から一辺までの距離は $x\mathrm{/}2$ なので $$l=\sqrt{h^2+{\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^2}$$ である。

四角錐の体積は $$V={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^{2}h$$ である。表面積は，底面積 $x^2$ と，4枚の側面三角形の面積の和で $$S=x^2+4\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}xl=x^2+2xl$$ である。

内接球の半径が $1$ であるから，四角錐は底面と側面を底面にもつ高さ1の小さな三角錐に分けられ，$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}S$$ となる。すなわち $${\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^{2}h={\displaystyle \frac{1}{3}}(x^2+2xl)$$ であり，$x^{2}h=x^2+2xl$ である。$x>0$ より $xh=x+2l$ となる。したがって $$l={\displaystyle \frac{x(h-1)}{2}}$$ である。

これを $l^2=h^2+(x\mathrm{/}2{)}^2$ に代入すると $${\displaystyle \frac{x^2(h-1{)}^2}{4}}=h^2+{\displaystyle \frac{x^2}{4}}$$ である。両辺を4倍して整理すると $x^2(h^2-2h+1)=4h^2+x^2$ より $(x^2-4)h^2-2x^{2}h=0$ である。$h>0$ なので $$h={\displaystyle \frac{2x^2}{x^2-4}}$$ を得る。この式が正になるために $x>2$ である。

(2)
(1) より体積は $$V(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^{2}h={\displaystyle \frac{2x^4}{3(x^2-4)}}(x>2)$$ である。微分すると $$V^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{4x^3(x^2-8)}{3(x^2-4{)}^2}}$$ である。$x>2$ では分母と $4x^3$ は正なので，$V^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $x^2-8$ の符号で決まる。したがって $$2<x<2\sqrt{2}\text{で }{V}^{\mathrm{\prime }}(x)<0,$$ $$x>2\sqrt{2}\text{で }{V}^{\mathrm{\prime }}(x)>0$$ である。よって体積は $x=2\sqrt{2}$ で最小となる。

そのとき$$V={\displaystyle \frac{2(2\sqrt{2}{)}^4}{3\{(2\sqrt{2}{)}^2-4\}}}={\displaystyle \frac{2\cdot 64}{3\cdot 4}}={\displaystyle \frac{32}{3}}$$である。したがって $$x=2\sqrt{2},V_{\min }={\displaystyle \frac{32}{3}}$$ である。

頂点と底面の対辺の中点を通る軸断面を取ると、底辺 $x$、高さ $h$、斜辺 $\mathrm{\ell }$ の二等辺三角形ができ、その内接円の半径も1である。三角形の面積を内接円で分割して $h$ を求める。体積は $u=x^2-4$ と置き、相加相乗平均で微分せずに最小化する。

(1)
$h=EO$ とし、底面の向かい合う2辺の中点と $E$ を通る断面を考える。この断面は底辺 $x$、高さ $h$、等しい2辺$$\mathrm{\ell }=\sqrt{h^2+{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}$$の二等辺三角形であり、半径1の内接円をもつ。

三角形の面積を、内心を頂点とする3個の三角形に分けると$${\displaystyle \frac{xh}{2}}={\displaystyle \frac{x+2\mathrm{\ell }}{2}}\mathrm{.}$$よって$$xh=x+2\mathrm{\ell }\mathrm{.}$$$$\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{x(h-1)}{2}}$$を ${\mathrm{\ell }}^2=h^2+x^2\mathrm{/}4$ に代入すると$$(x^2-4)h^2-2x^{2}h=0.$$$h>0$ であるから$$h={\displaystyle \frac{2x^2}{x^2-4}},x>2.$$(2)$$V={\displaystyle \frac{x^{2}h}{3}}={\displaystyle \frac{2x^4}{3(x^2-4)}}\mathrm{.}$$$$u=x^2-4>0$$とおけば$$V={\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{(u+4{)}^2}{u}}={\displaystyle \frac{2}{3}}(u+8+{\displaystyle \frac{16}{u}})\mathrm{.}$$相加相乗平均より$$u+{\displaystyle \frac{16}{u}}\geqq 8$$であり、等号は $u=4$ のときに成り立つ。したがって$$x=2\sqrt{2},V_{\min }={\displaystyle \frac{32}{3}}\mathrm{.}$$