九州大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $f(x)=x(x^2+px+q)$ が $x=\alpha$ で極大値 $0$ をとるので $$f(\alpha )=0,f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=0$$ である。$\alpha \mathrm{\ne }0$ だから，$x^2+px+q$ は $x=\alpha$ を解にもつ。さらに微分条件も合わせると，$x=\alpha$ は重解になる。よって $f(x)=x(x-\alpha {)}^2$ と書ける。

これを展開すると $$f(x)=x^3-2\alpha x^2+{\alpha }^{2}x$$ であるから $$p=-2\alpha ,q={\alpha }^2$$ である。また $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x-\alpha {)}^2+2x(x-\alpha )=(x-\alpha )(3x-\alpha )$$ なので，$x=\alpha$ 以外の極値点は $$\beta ={\displaystyle \frac{\alpha }{3}}$$ である。

このとき$$f(\beta )=f\left({\displaystyle \frac{\alpha }{3}}\right)={\displaystyle \frac{\alpha }{3}}{({\displaystyle \frac{\alpha }{3}}-\alpha )}^2={\displaystyle \frac{\alpha }{3}}{(-{\displaystyle \frac{2\alpha }{3}})}^2={\displaystyle \frac{4{\alpha }^3}{27}}$$である。これが $-32$ に等しいから $${\displaystyle \frac{4{\alpha }^3}{27}}=-32$$ であり，${\alpha }^3=-216$ より $\alpha =-6$ を得る。したがって $$\beta =-2,p=12,q=36$$ である。よって $$\alpha =-6,\beta =-2,p=12,q=36$$ である。

(2)
(1) より $$f(x)=x(x+6{)}^2=x^3+12x^2+36x$$ である。$x$ 軸の正の方向へ $c$ だけ平行移動した関数は $g(x)=f(x-c)$ である。

二つの曲線の交点は $f(x)=f(x-c)$ で決まる。差を計算すると $$f(x)-f(x-c)=c\{3x^2+(24-3c)x+c^2-12c+36\}$$ である。$c>0$ なので，交点の個数は二次方程式 $$3x^2+(24-3c)x+c^2-12c+36=0$$ の実数解の個数で決まる。この判別式は $$(24-3c{)}^2-12(c^2-12c+36)=3(48-c^2)$$ である。したがって二つの交点をもち，囲まれる部分ができるのは $0<c<4\sqrt{3}$ のときである。$c=4\sqrt{3}$ では接するだけで面積は $0$，$c>4\sqrt{3}$ では囲まれる部分はない。 $0<c<4\sqrt{3}$ とする。上の二次式の二つの解を $u<v$ とする。二次式は上に開くので，$u<x<v$ では $f(x)-g(x)<0$ である。二つの解の差は $$v-u={\displaystyle \frac{\sqrt{3(48-c^2)}}{3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{48-c^2}}{\sqrt{3}}}$$ である。よって面積 $S$ は$$S={\int }_u^v\{g(x)-f(x)\}dx$$である。

ここで，二次式 $3(x-u)(x-v)$ に $c$ が掛かっていることを用いると $g(x)-f(x)=3c(x-u)(v-x)$ である。したがって$$S=3c{\int }_u^v(x-u)(v-x)dx$$である。$L=v-u$ とおくと$${\int }_u^v(x-u)(v-x)dx={\displaystyle \frac{L^3}{6}}$$だから$$S={\displaystyle \frac{3c}{6}}{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{48-c^2}}{\sqrt{3}}}\right)}^3={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{18}}c(48-c^2{)}^{3\mathrm{/}2}$$である。

したがって $$S={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{18}}c(48-c^2{)}^{3\mathrm{/}2}(0<c<4\sqrt{3})$$ であり，$c=4\sqrt{3}$ では $S=0$，$c>4\sqrt{3}$ では囲まれる部分はない。

(1) は導関数の2根が $\alpha ,\beta$ であることと、$f(\alpha )=0$ を解と係数の関係に組み合わせる。(2) は差の二次式を頂点中心の形 $3c\{h^2-(x-m{)}^2\}$ に直し、左右対称な積分として面積を求める。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2px+q$$の2根は $\alpha ,\beta$ なので$$\alpha +\beta =-{\displaystyle \frac{2p}{3}},\alpha \beta ={\displaystyle \frac{q}{3}}\mathrm{.}$$また $\alpha \mathrm{\ne }0$ かつ $f(\alpha )=0$ より$${\alpha }^2+p\alpha +q=0.$$$$p=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(\alpha +\beta ),q=3\alpha \beta$$を代入して $\alpha \mathrm{\ne }0$ を用いると$$\beta ={\displaystyle \frac{\alpha }{3}}\mathrm{.}$$さらに極大値0であることから$$f(x)=x(x-\alpha {)}^2\mathrm{.}$$したがって$$-32=f(\beta )={\displaystyle \frac{4{\alpha }^3}{27}}$$より$$\alpha =-6,\beta =-2,p=12,q=36.$$(2)$$f(x)-f(x-c)=c\{3x^2+(24-3c)x+c^2-12c+36\}\mathrm{.}$$この二次式の軸と2根間の半幅を$$m={\displaystyle \frac{c-8}{2}},h={\displaystyle \frac{\sqrt{48-c^2}}{2\sqrt{3}}}$$とおく。囲まれる部分がある条件は$$0<c<4\sqrt{3}$$であり、このとき$$g(x)-f(x)=3c\{h^2-(x-m{)}^2\}$$が $m-h<x<m+h$ で成り立つ。よって面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =3c{\int }_{m-h}^{m+h}\{h^2-(x-m{)}^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4c{h}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{18}}c(48-c^2{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}}\end{array}$$$c=4\sqrt{3}$ では接するだけで面積は0、$c>4\sqrt{3}$ では囲まれる部分はない。