九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
直線$OA$は$O(0,0)$, $A(4,2)$を通るので $y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$ である。これを円 $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$ に代入すると $$(x-2{)}^2+{({\displaystyle \frac{x}{2}}-2)}^2=4$$ である。整理して $5x^2-24x+16=0$ となるから $x=4,{\displaystyle \frac{4}{5}}$ である。$x=4$のときは点$A$である。したがって、$A$と異なる点$P$は $$P=({\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{2}{5}})$$ である。

(2)
重心を$G=(X,Y)$とする。$P=(x,y)$とすると $$X={\displaystyle \frac{x+4}{3}},Y={\displaystyle \frac{y+2}{3}}$$ である。したがって $x=3X-4,y=3Y-2$ である。これを円の方程式へ代入すると $(3X-6{)}^2+(3Y-4{)}^2=4$ となる。よって $$(X-2{)}^2+{(Y-{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2={\displaystyle \frac{4}{9}}$$ である。

ただし、$O,A,P$が同一直線上にあるときは三角形にならない。(1)よりそのような$P$は$A=(4,2)$と$(4\mathrm{/}5,2\mathrm{/}5)$であり、それぞれに対応する重心は $({\displaystyle \frac{8}{3}},{\displaystyle \frac{4}{3}}),({\displaystyle \frac{8}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}})$ である。したがって軌跡は $$(X-2{)}^2+{(Y-{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2={\displaystyle \frac{4}{9}}$$ で表される円から、上の2点を除いたものである。

(3)
三角形$OAP$の面積を$T$とすると $$T={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }4y-2x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }2y-x\mathrm{\mid }$$ である。直線$OA$の方程式は $x-2y=0$ であり、円の中心$(2,2)$からこの直線までの距離は $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2-4\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$$ である。円の半径は2なので、円上の点$P$から直線$OA$までの距離の最大値は $2+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$ である。

また $$OA=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$$ だから、面積の最大値は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\sqrt{5}(2+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}})=2\sqrt{5}+2$$ である。

円を $P=(2+2\cos \theta ,2+2\sin \theta )$ と媒介表示する。(1)は $P$ と $(4,2)$ の行列式、(2)は重心への相似変換、(3)は面積を三角関数の一次結合として最大化する。

(1) $$P=(2+2\cos \theta ,2+2\sin \theta )$$とおく。$O,A,P$ が一直線上にある条件は$$\mid \begin{array}{cc}4& 2\\ 2+2\cos \theta & 2+2\sin \theta \end{array}\mid =0$$であるから$$1+2\sin \theta -\cos \theta =0$$を得る。対応する円と直線 $y=x\mathrm{/}2$ の交点のうち $A$ でない方は$$P=({\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{2}{5}})$$である。

(2)
重心は$$G={\displaystyle \frac{O+A+P}{3}}={\displaystyle \frac{A}{3}}+{\displaystyle \frac{P}{3}}$$である。従って $P$ の円を倍率 $1\mathrm{/}3$ で縮小し、$\mathit{A}\mathrm{/}3$ だけ平行移動した円を動く。その中心は$${\displaystyle \frac{(4,2)+(2,2)}{3}}=(2,{\displaystyle \frac{4}{3}}),\text{半径は }{\displaystyle \frac{2}{3}}$$である。退化する $P=A,(4\mathrm{/}5,2\mathrm{/}5)$ に対応する2点を除くので、軌跡は$$(X-2{)}^2+{(Y-{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2={\displaystyle \frac{4}{9}}$$から$$({\displaystyle \frac{8}{3}},{\displaystyle \frac{4}{3}}),({\displaystyle \frac{8}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}})$$を除いた部分である。

(3) $$T=\mathrm{\mid }2y-x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }2+4\sin \theta -2\cos \theta \mathrm{\mid }$$である。$4\sin \theta -2\cos \theta$ の振幅は $2\sqrt{5}$ だから$$T\leqq 2+2\sqrt{5}\mathrm{.}$$等号を与える点は退化点ではないので、最大値は$$2+2\sqrt{5}$$である。

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