九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 図形と方程式理系数学 第5問(d)

(1)

半径 $R$、$r$ の2円の中心間距離を $l$ とする。2つの円周が共有点をもつためには、遠すぎて離れていてはいけないので $l\leqq R+r$ が必要である。また、一方の円が他方の内側に入りすぎていても共有点をもたないので $l\geqq R-r$ が必要である。逆に $R-r\leqq l\leqq R+r$ なら、2円は外接、内接、または2点で交わる。したがって必要十分条件は $R-r\leqq l\leqq R+r$ である。

(2)

(2) (i)

焦点を $F(s,t)$ とする。点 $A(0,a)$ が放物線上にあるためには、$A$ から焦点までの距離と、$A$ から準線である $x$ 軸までの距離が等しければよい。後者は $a$ であるから $AF=a$ である。すなわち $s^2+(t-a{)}^2=a^2$ である。

したがって焦点 $F$ の全体は、中心 $(0,a)$、半径 $a$ の円 $s^2+(t-a{)}^2=a^2$ である。ただし焦点が準線上の原点に来る場合は放物線としては退化するので、原点は除く。

(2) (ii)

点 $P(p,q)$ は $x$ 軸上にないので $q\mathrm{\ne }0$ である。$P$ がその放物線上にあるには、同じ焦点 $F(s,t)$ について $PF=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$ が成り立つ必要がある。つまり焦点 $F$ は、中心 $A(0,a)$、半径 $a$ の円と、中心 $P(p,q)$、半径 $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$ の円の共有点でなければならない。

まず $q<0$ の場合を考える。このとき2つ目の円の半径は $-q$ である。中心間距離を $$AP=\sqrt{p^2+(q-a{)}^2}$$ とすると、(1)より必要な上限条件は $AP\leqq a-q$ である。両辺を2乗すると $p^2+(q-a{)}^2\leqq (a-q{)}^2$ となるので $p=0$ が必要である。しかしこのとき2円の共有点は原点だけとなり、焦点としては使えない。したがって $q<0$ は不適である。

次に $q>0$ とする。このとき2つ目の円の半径は $q$ である。共有点をもつための条件は $\mathrm{\mid }a-q\mathrm{\mid }\leqq AP\leqq a+q$ である。左側の不等式は $$A{P}^2=p^2+(q-a{)}^2\geqq (q-a{)}^2$$ より自動的に成り立つ。右側の不等式は $p^2+(q-a{)}^2\leqq (a+q{)}^2$ であり、整理すると $p^2\leqq 4aq$ である。

ただし $p=0$ のときは注意が必要である。この場合、2つの円はどちらも原点を通る。$q\mathrm{\ne }a$ なら共有点は原点だけであり、これは焦点として使えない。$q=a$ なら2つの円は一致し、原点以外の焦点を取れる。したがって必要十分条件は $$p\mathrm{\ne }0\text{ のとき }q\geqq {\displaystyle \frac{p^2}{4a}},p=0\text{ のとき }q=a$$ である。

焦点は2円の共有点として決まる

放物線の定義を焦点を中心とする円の条件として使う。点 $A$ と点 $P$ が同じ放物線上にあることを2円の共有点の存在へ変換し、円の交点条件と退化する原点を分けて処理する。

(1)

2円が外側へ離れすぎない条件は $l\leqq R+r$、一方が他方の内部へ入りすぎない条件は $l\geqq R-r$ である。接する場合も含めて$$R-r\leqq l\leqq R+r$$が必要十分である。

(2)

(2) (i)

焦点を $F=(s,t)$ とする。$A=(0,a)$ から準線までの距離は $a$ なので、放物線の定義から$$AF=a\mathrm{.}$$よって焦点の軌跡は$$s^2+(t-a{)}^2=a^2$$である。ただし原点は焦点が準線上にあり退化するため除く。

(2) (ii)

$P=(p,q)$ が同じ放物線上にあるには$$AF=a,PF=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$$を同時に満たす原点以外の $F$ が存在すればよい。

$q<0$ では2円は原点以外で交われず不適である。$q>0$ では中心間距離$$AP=\sqrt{p^2+(q-a{)}^2}$$について$$\mathrm{\mid }a-q\mathrm{\mid }\leqq AP\leqq a+q$$が必要十分である。左側は自動的で、右側を2乗すると$$p^2\leqq 4aq\mathrm{.}$$$p\mathrm{\ne }0$ なら共有点は原点でないのでこれで十分である。$p=0$ では、$q\mathrm{\ne }a$ の2円は原点で接するだけであり不適、$q=a$ なら2円が一致して原点以外の焦点を取れる。したがって$$(p,q)=(0,a)$$または$$p\mathrm{\ne }0,4aq\geqq p^2$$が必要十分条件である。