九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
平均変化率は ${\displaystyle \frac{f(q)-f(p)}{q-p}}$ である。ここで $$f(q)-f(p)=a(q^2-p^2)+b(q-p)=(q-p)\{a(p+q)+b\}$$ だから $${\displaystyle \frac{f(q)-f(p)}{q-p}}=a(p+q)+b$$ である。

(2)
定義にしたがって $$f^{\mathrm{\prime }}(r)=\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(r+h)-f(r)}{h}}$$ を計算する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(r+h)-f(r)}& {\displaystyle =a\{(r+h{)}^2-r^2\}+bh}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a(2rh+h^2)+bh}\end{array}$$であるから $${\displaystyle \frac{f(r+h)-f(r)}{h}}=2ar+ah+b$$ である。よって $f^{\mathrm{\prime }}(r)=2ar+b$ である。

(3)
(1)
と(2)が一致するので $2ar+b=a(p+q)+b$ である。$a\mathrm{\ne }0$より $$r={\displaystyle \frac{p+q}{2}}$$ である。

(4)
放物線$y=x^2$の$x=p$, $x=q$における接線はそれぞれ $$y=2px-p^2,y=2qx-q^2$$ である。この2直線の交点の$x$座標を求めると $2px-p^2=2qx-q^2$ より $$x={\displaystyle \frac{p+q}{2}}$$ である。

放物線と$x=p$での接線との差は $x^2-(2px-p^2)=(x-p{)}^2$ であり、放物線と$x=q$での接線との差は $x^2-(2qx-q^2)=(x-q{)}^2$ である。したがって求める面積を$S$とすると $$S={\int }_p^{(p+q)\mathrm{/}2}(x-p{)}^{2}dx+{\int }_{(p+q)\mathrm{/}2}^q(x-q{)}^{2}dx$$ である。$h=(q-p)\mathrm{/}2$とおくと、2つの積分はどちらも $${\int }_0^h{u}^{2}du={\displaystyle \frac{h^3}{3}}$$ に等しい。よって$$S=2\cdot {\displaystyle \frac{h^3}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}{\left({\displaystyle \frac{q-p}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{(q-p{)}^3}{12}}$$である。

区間の中点 $h=(p+q)\mathrm{/}2$ と半幅 $d=(q-p)\mathrm{/}2$ を用いる。2次式を $x=h$ のまわりに展開すると、対称な2点の差商が $f^{\mathrm{\prime }}(h)$ に一致する。(4)も $x=h+u$ と平行移動し、左右対称な面積として計算する。

(1) $$h={\displaystyle \frac{p+q}{2}},d={\displaystyle \frac{q-p}{2}}$$とおく。2次式を $h$ のまわりで書けば$$f(h+u)=a{u}^2+(2ah+b)u+f(h)$$である。従って$${\displaystyle \frac{f(h+d)-f(h-d)}{2d}}=2ah+b=a(p+q)+b\mathrm{.}$$従って平均変化率は $a(p+q)+b$ である。

(2)
定義から$$f^{\mathrm{\prime }}(r)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(r+\epsilon )-f(r)}{\epsilon }}=2ar+b\mathrm{.}$$(3)
両者が一致するのは $a\mathrm{\ne }0$ より$$r=h={\displaystyle \frac{p+q}{2}}$$のときである。

(4)
座標を$$x=h+u,y^{\mathrm{\prime }}=y-2hx+h^2$$と平行移動すると、放物線は $y^{\mathrm{\prime }}=u^2$ となり、$P,Q$ は $u=-d,d$ に移る。両点での接線は$$y^{\mathrm{\prime }}=-2du-d^2,y^{\mathrm{\prime }}=2du-d^2$$で、交点は $(0,-d^2)$ である。左右は対称だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{\int }_0^d\{u^2-(2du-d^2)\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^d(d-u{)}^{2}du={\displaystyle \frac{2d^3}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$$d=(q-p)\mathrm{/}2$ を戻して$$S={\displaystyle \frac{(q-p{)}^3}{12}}$$を得る。

\Needspace{8cm}