九州大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

放物線 $y=x^2$ の $x=a$ における接線は $y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2$ である。したがって、この接線と $x$ 軸との交点 $P$ は $$P=({\displaystyle \frac{a}{2}},0)$$ である。

直線 $AP$ はこの接線そのものであり、傾きは $2a$ であるから $\tan \theta =2a$ である。よって $$\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}={\displaystyle \frac{4a}{1-4a^2}}$$ である。ただし問題で $a\mathrm{\ne }\pm 1\mathrm{/}2$ とされているので分母は $0$ ではない。

直線 $L$ は点 $P$ を通り、傾き $\tan 2\theta$ をもつから $$L:y={\displaystyle \frac{4a}{1-4a^2}}(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})$$ である。

(2) $$m={\displaystyle \frac{4a}{1-4a^2}}$$ とおく。直線 $L$ と放物線 $y=x^2$ の交点の $x$ 座標は $$x^2=m(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})$$ すなわち $$x^2-mx+{\displaystyle \frac{ma}{2}}=0$$ の2根である。この2根がともに $m$ より小さい条件を調べるため、$x=u+m$ とおく。すると $$(u+m{)}^2-m(u+m)+{\displaystyle \frac{ma}{2}}=0$$ より $$u^2+mu+{\displaystyle \frac{ma}{2}}=0$$ である。

もとの2根がともに $m$ より小さいことは、この $u$ の2根がともに負であることと同値である。二次方程式 $u^2+mu+ma\mathrm{/}2=0$ の2根がともに負であるための条件は $$\text{和}<0,\text{積}>0$$ である。よって $$-m<0,{\displaystyle \frac{ma}{2}}>0$$ すなわち $m>0,ma>0$ が必要十分である。

ここで $$m={\displaystyle \frac{4a}{1-4a^2}}$$ であるから、$ma>0$ より $1-4a^2>0$ が必要である。このもとで $m>0$ は $a>0$ と同値である。したがって $0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

放物線との交点を二次方程式の明示的な2根として表し、大きい根だけを基準値 $m$ と比較する。

(1)
接点 $A$ における接線は$$y=2ax-a^2$$だから$$P=({\displaystyle \frac{a}{2}},0),\tan \theta =2a\mathrm{.}$$よって$$m:=\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{4a}{1-4a^2}},L:y=m(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})\mathrm{.}$$(2)
放物線との交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とすると$$x^2-mx+{\displaystyle \frac{ma}{2}}=0.$$その判別式は$$D=m^2-2ma={\displaystyle \frac{8a^2(1+4a^2)}{(1-4a^2{)}^2}}>0$$である。ここで $A\mathrm{\ne }O$ より $a\mathrm{\ne }0$ も使った。大きい方の根は$$x_2={\displaystyle \frac{m+\sqrt{D}}{2}}\mathrm{.}$$2根がともに $m$ より小さい条件は $x_2<m$、すなわち$$\sqrt{D}<m\mathrm{.}$$したがって、まず $m>0$ が必要であり、そのもとで両辺を2乗して$$D<m^2⟺-2ma<0⟺ma>0.$$逆に $m>0,ma>0$ なら上の変形を逆にたどれるので十分でもある。$$m={\displaystyle \frac{4a}{1-4a^2}}$$を代入すると$$m>0,ma>0⟺0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$よって$$0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$