九州大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
直線 $x=1$ 上の動点を $P=(1,u)$ とおく。円 $C$ は中心 $(1\mathrm{/}2,0)$、半径 $1\mathrm{/}2$ なので $${(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ すなわち $x^2+y^2=x$ である。

線分 $OP$ 上の点は $$(\lambda ,\lambda u)=\lambda P$$ と書ける。これが円 $C$ 上にあるとき $${\lambda }^2+{\lambda }^2{u}^2=\lambda$$ である。$Q\mathrm{\ne }O$ なので $\lambda \mathrm{\ne }0$ であり、$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{1+u^2}}$ である。したがって $$OQ=\lambda OP={\displaystyle \frac{1}{1+u^2}}\sqrt{1+u^2}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}}$$ である。一方 $$OP=\sqrt{1+u^2}$$ だから $$PQ=OP-OQ=\sqrt{1+u^2}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}}={\displaystyle \frac{u^2}{\sqrt{1+u^2}}}$$ である。

点 $R$ は $OP$ 上にあり、$OR=PQ$ を満たすので、$OP$ 方向の単位ベクトルを用いて $$R={\displaystyle \frac{PQ}{OP}}P={\displaystyle \frac{u^2}{1+u^2}}(1,u)$$ である。よって $$x={\displaystyle \frac{u^2}{1+u^2}},y={\displaystyle \frac{u^3}{1+u^2}}$$ である。この2式から $1-x={\displaystyle \frac{1}{1+u^2}}$ であり、したがって$$y^2(1-x)={\displaystyle \frac{u^6}{(1+u^2{)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1+u^2}}={\displaystyle \frac{u^6}{(1+u^2{)}^3}}$$である。一方 $$x^3={\left({\displaystyle \frac{u^2}{1+u^2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{u^6}{(1+u^2{)}^3}}$$ だから、求める軌跡の方程式は $y^2(1-x)=x^3$ である。

(2)
点 $(1\mathrm{/}m,1\mathrm{/}n)$ がこの曲線上にある条件は $${\displaystyle \frac{1}{n^2}}(1-{\displaystyle \frac{1}{m}})={\displaystyle \frac{1}{m^3}}$$ である。整理すると $${\displaystyle \frac{m-1}{m{n}^2}}={\displaystyle \frac{1}{m^3}}$$ より $n^2=m^2(m-1)$ である。

ここで $m$ と $m-1$ は互いに素である。したがって $m^2(m-1)$ が平方数であるためには、$m-1$ 自身が平方数でなければならない。そこで $m-1=l^2$ とおくと、$l$ は自然数で $m=l^2+1$ である。また $n^2=m^2{l}^2$ より $n=ml=l(l^2+1)$ である。

条件 $m,n\leqq 100$ から $l(l^2+1)\leqq 100$ である。これを満たす自然数は $l=1,2,3,4$ であり、$l=5$ では $5(25+1)=130>100$ となる。したがって求める組は $$(m,n)=(2,2),(5,10),(10,30),(17,68)$$ である。

直線 $OP$ の偏角を $\theta$ とする。直径円の弦長から
$OQ=\cos \theta$ を得て、$R$ の極座標を直接表す。
整数条件は $m-1$ が平方数であることへ帰着する。

(1)
$OP$ が $x$ 軸となす角を $\theta$ とする。$P$ は $x=1$ 上なので$$OP={\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}\mathrm{.}$$$C$ は $O$ と $(1,0)$ を直径とする円であるから$$OQ=\cos \theta \mathrm{.}$$従って$$OR=PQ={\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}-\cos \theta ={\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta }{\cos \theta }}\mathrm{.}$$よって$$x=OR\cos \theta ={\sin }^2\theta ,y=OR\sin \theta ={\displaystyle \frac{{\sin }^3\theta }{\cos \theta }}\mathrm{.}$$したがって$$y^2(1-x)=x^3\mathrm{.}$$逆に $0\leqq x<1$ を満たすこの曲線上の点は上の媒介表示をもつので、
これが軌跡である。

(2)
$(x,y)=(1\mathrm{/}m,1\mathrm{/}n)$ を代入すると$$n^2=m^2(m-1)\mathrm{.}$$$\gcd (m,m-1)=1$ だから $m-1={\mathrm{\ell }}^2$ と書け、$$m={\mathrm{\ell }}^2+1,n=\mathrm{\ell }({\mathrm{\ell }}^2+1)\mathrm{.}$$$m,n\leqq 100$ より $\mathrm{\ell }=1,2,3,4$ である。従って$$(m,n)=(2,2),(5,10),(10,30),(17,68)\mathrm{.}$$