九州大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 図形と方程式・三角関数文系数学 第3問(c)

$A$ を原点、半直線 $l$ を $x$ 軸の正の向きにとる。このとき $$B=(1-r,0),C=(1,0),D=(1+r,0)$$ である。$BD$ を直径とする円の中心は $(1,0)$、半径は $r$ である。

半直線 $m$ と $l$ のなす角を $\varphi$ とする。$m$ はこの円に接するので、中心 $(1,0)$ から直線 $m$ までの距離が $r$ である。したがって $$\sin \varphi =r,\cos \varphi =\sqrt{1-r^2}$$ である。$m$ 上で $A$ から距離 $s$ の点は $(s\cos \varphi ,s\sin \varphi )$ と表される。

(1) $E,F$ を通り $l$ に接する円を考える。点 $A$ からこの円へ引いた接線は $AP$、割線は $AEF$ であるから、接線と割線の関係より $A{P}^2=AE\cdot AF$ である。ここで $AE=1-r$、$AF=1$ なので $A{P}^2=1-r$ である。$AP>0$ より $$AP=\sqrt{1-r}$$ である。

(2) $C=(1,0)$、$F=(\cos \varphi ,\sin \varphi )$ である。したがって $$C{F}^2=(1-\cos \varphi {)}^2+(0-\sin \varphi {)}^2$$ $$=1-2\cos \varphi +{\cos }^2\varphi +{\sin }^2\varphi =2-2\cos \varphi$$ である。$$\cos \varphi =\sqrt{1-r^2}$$ より $$C{F}^2=2-2\sqrt{1-r^2}$$ であり、$CF>0$ だから $$CF=\sqrt{2-2\sqrt{1-r^2}}$$ である。

(3)

同様に、$F,G$ を通り $l$ に接する円について、点 $A$ からの接線と割線の関係を用いると $$A{Q}^2=AF\cdot AG=1\cdot (1+r)=1+r$$ である。よって $$AQ=\sqrt{1+r}$$ である。(1)より $$AP=\sqrt{1-r}$$ で、$Q$ は $P$ より $A$ から遠い側にあるから $$PQ=AQ-AP=\sqrt{1+r}-\sqrt{1-r}$$ である。

これを2乗すると $$P{Q}^2=(\sqrt{1+r}-\sqrt{1-r}{)}^2$$ $$=2-2\sqrt{(1+r)(1-r)}=2-2\sqrt{1-r^2}$$ である。(2)で求めた $C{F}^2$ と一致する。$PQ>0$、$CF>0$ なので $PQ=CF$ である。

全てを座標で処理する。接線 $m$ の角を定め、
$l$ に接する円の中心を $(p,\rho )$ と置く。
円が $m$ 上の2点を通る2本の式を引き、接点座標 $p$ を直接求める。

$A=(0,0)$、$l$ を $x$ 軸とし、$m$ の方向を
$(c,s)$ とする。中心 $(1,0)$、半径 $r$ の円に $m$ が接するので$$s=r,c=\sqrt{1-r^2}\mathrm{.}$$$m$ 上で $A$ から距離 $u$ の点は $(uc,us)$ である。

(1)
$E,F$ を通り $l$ に接する円の中心を $(p,\rho )$ とする。
$E,F$ に対応する $u=1-r,1$ を$$(uc-p{)}^2+(us-\rho {)}^2={\rho }^2$$に代入する。2式を引くと$$(2-r)-2pc-2\rho s=0.$$これを $u=1$ の式と合わせて整理すると $p^2=1-r$ を得る。
接点は正の半直線上にあるから$$AP=p=\sqrt{1-r}\mathrm{.}$$(2)
$C=(1,0)$、$F=(c,s)$ より$$C{F}^2=(1-c{)}^2+s^2=2-2c=2-2\sqrt{1-r^2}\mathrm{.}$$したがって$$CF=\sqrt{2-2\sqrt{1-r^2}}\mathrm{.}$$(3)
同じ計算を $F,G$、すなわち $u=1,1+r$ に行うと、
接点 $Q$ の座標は $q^2=1+r$ を満たす。よって$$PQ=\sqrt{1+r}-\sqrt{1-r}\mathrm{.}$$両辺を2乗すれば$$P{Q}^2=2-2\sqrt{1-r^2}=C{F}^2\mathrm{.}$$いずれも正の長さだから $PQ=CF$ である。