九州大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) 接点を $A(a,b)$ とする。$A$ は円 $x^2+y^2=r^2$ 上にあるので $a^2+b^2=r^2$ である。

円の接線は半径 $OA$ と垂直である。直線上の点を $P(x,y)$ とすると、$$\overrightarrow{OA}=(a,b)$$, $$\overrightarrow{AP}=(x-a,y-b)$$ だから $(a,b)\cdot (x-a,y-b)=0$ である。すなわち $a(x-a)+b(y-b)=0$ であり、整理して $ax+by=a^2+b^2=r^2$ を得る。よって接線の方程式は $ax+by=r^2$ である。

(2) 放物線 $C:y=x^2+1$ の $x=t$ における接点は $(t,t^2+1)$ であり、接線の傾きは $2t$ である。したがって接線は $y-(t^2+1)=2t(x-t)$ すなわち $2tx-y-t^2+1=0$ である。

この直線が円 $x^2+y^2=1$ に接するためには、原点からこの直線までの距離が1であればよい。よって $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1-t^2\mathrm{\mid }}{\sqrt{4t^2+1}}}=1$$ である。両辺を2乗して $(1-t^2{)}^2=4t^2+1$ となる。整理すると $t^4-6t^2=0$ だから $t=0,t=\pm \sqrt{6}$ である。

それぞれの接線は $$y=1,y=2\sqrt{6}x-5,y=-2\sqrt{6}x-5$$ である。

(3) 正の $x$ 軸と交わる接線は $l_1:y=2\sqrt{6}x-5$ であり、$x$ 軸に平行な接線は $l_2:y=1$ である。$l_1$ と $l_2$ の交点は $1=2\sqrt{6}x-5$ より $$x={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$$ である。また、放物線と $l_2$ は $x=0$ で接し、放物線と $l_1$ は $x=\sqrt{6}$ で接する。

求める領域では、$$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$$ で下側の境界が $l_2$、$${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}\leqq x\leqq \sqrt{6}$$ で下側の境界が $l_1$ である。したがって面積は$${\int }_0^{\sqrt{6}\mathrm{/}2}\{(x^2+1)-1\}dx+{\int }_{\sqrt{6}\mathrm{/}2}^{\sqrt{6}}\{(x^2+1)-(2\sqrt{6}x-5)\}dx$$である。すなわち$${\int }_0^{\sqrt{6}\mathrm{/}2}{x}^{2}dx+{\int }_{\sqrt{6}\mathrm{/}2}^{\sqrt{6}}(x^2-2\sqrt{6}x+6)dx$$となる。後半の被積分関数は $(x-\sqrt{6}{)}^2$ であるから、$${\int }_0^{\sqrt{6}\mathrm{/}2}{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}},$$$${\int }_{\sqrt{6}\mathrm{/}2}^{\sqrt{6}}(x-\sqrt{6}{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}$$である。よって求める面積は ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$ である。

直線を $y=mx+c$ とおく。放物線に接する条件は交点方程式の判別式が0、
単位円に接する条件は原点から直線までの距離が1であることに置き換える。
面積は2本の接線の交点で区間を分け、接線と放物線の差を平方の形で積分する。

(1)
円周上の任意の点 $(x,y)$ について、Cauchyの不等式から$$ax+by\leqq \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{x^2+y^2}=r^2$$である。等号は $(x,y)$ と $(a,b)$ が同方向のとき、円周上では
$(x,y)=(a,b)$ のときだけ成り立つ。したがって$$ax+by=r^2$$は円と $(a,b)$ だけを共有する接線である。

(2)
直線を $y=mx+c$ とする。放物線との交点は$$x^2-mx+1-c=0$$の解であり、接する条件は$$m^2-4(1-c)=0,c=1-{\displaystyle \frac{m^2}{4}}$$である。また単位円に接する条件は$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }}{\sqrt{m^2+1}}}=1.$$$u=m^2$ とおいて代入すると$${(1-{\displaystyle \frac{u}{4}})}^2=u+1,u(u-24)=0.$$よって$$(m,c)=(0,1),(2\sqrt{6},-5),(-2\sqrt{6},-5),$$したがって3本の接線は$$y=1,y=2\sqrt{6}x-5,y=-2\sqrt{6}x-5$$である。

(3)
$l_1:y=2\sqrt{6}x-5$、$l_2:y=1$ とすると、両者の交点の
$x$ 座標は $\sqrt{6}\mathrm{/}2$ である。放物線との差はそれぞれ
$x^2$、$(x-\sqrt{6}{)}^2$ だから、面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{\sqrt{6}\mathrm{/}2}{x}^{2}dx+{\int }_{\sqrt{6}\mathrm{/}2}^{\sqrt{6}}(x-\sqrt{6}{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$