九州大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $f(b)=0$、$f(c)=0$ であり、$b\mathrm{\ne }c$ である。したがって求める高々2次の関数は $f(x)=K(x-b)(x-c)$ と書ける。ただし $K$ は定数である。さらに $f(a)=1$ より $K(a-b)(a-c)=1$ である。$a,b,c$ は互いに異なるので $(a-b)(a-c)\mathrm{\ne }0$ であり、$K={\displaystyle \frac{1}{(a-b)(a-c)}}$ である。よって $$f(x)={\displaystyle \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}}$$ である。

(2) $F(x)=f(x)-g(x)$ とおく。$f,g$ は高々2次の関数なので、$F$ も高々2次の関数である。また仮定より $F(a)=F(b)=F(c)=0$ である。

もし $F$ が零関数でないなら、高々2次の多項式が異なる3つの根 $a,b,c$ をもつことになり、これは不可能である。したがって $F$ は零関数である。よって $f(x)=g(x)$ であり、2つは同じ関数である。

(3)
右辺に $h(x)$ を掛けた関数を$$G(x)=h(x)\{{\displaystyle \frac{1}{h^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)}}+{\displaystyle \frac{1}{h^{\mathrm{\prime }}(b)(x-b)}}+{\displaystyle \frac{1}{h^{\mathrm{\prime }}(c)(x-c)}}\}$$とおく。$h(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$ であるから、各項で1つの因子が消え、$G(x)$ は高々2次の関数である。

ここで $$h^{\mathrm{\prime }}(a)=(a-b)(a-c),h^{\mathrm{\prime }}(b)=(b-a)(b-c),h^{\mathrm{\prime }}(c)=(c-a)(c-b)$$ である。したがって $x=a$ を代入すると、$G(a)$ では第1項だけが残り、$G(a)=1$ となる。同様に $G(b)=1,G(c)=1$ である。

定数関数 $1$ も高々2次の関数であり、$a,b,c$ で $G$ と同じ値をとる。よって(2)より $G(x)=1$ である。両辺を $h(x)$ で割れば$${\displaystyle \frac{1}{h(x)}}={\displaystyle \frac{1}{h^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)}}+{\displaystyle \frac{1}{h^{\mathrm{\prime }}(b)(x-b)}}+{\displaystyle \frac{1}{h^{\mathrm{\prime }}(c)(x-c)}}$$を得る。

3点で値を指定する基底多項式を作る。
(3)は部分分数の未知係数を、分母を払ってから
$x=a,b,c$ を代入して直接決定する。

(1)
$b,c$ で0となるので$$f(x)=K(x-b)(x-c)\mathrm{.}$$$f(a)=1$ より$$f(x)={\displaystyle \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}}\mathrm{.}$$(2)
$F=f-g$ は高々2次で、異なる3点 $a,b,c$ を根にもつ。
零多項式でない高々2次式は3個の異なる根をもてないから $F=0$、
従って $f=g$ である。

(3) $${\displaystyle \frac{1}{h(x)}}={\displaystyle \frac{A}{x-a}}+{\displaystyle \frac{B}{x-b}}+{\displaystyle \frac{C}{x-c}}$$とおく。両辺へ $h(x)$ を掛けて $x=a$ を代入すると$$1=A(a-b)(a-c)=A{h}^{\mathrm{\prime }}(a),$$従って $A=1\mathrm{/}{h}^{\mathrm{\prime }}(a)$ である。同様に$$B={\displaystyle \frac{1}{h^{\mathrm{\prime }}(b)}},C={\displaystyle \frac{1}{h^{\mathrm{\prime }}(c)}}\mathrm{.}$$これを戻せば所要の等式を得る。