九州大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $b$ は奇数であるから、$a=2^{m}b$ の正の約数は $$2^{j}d(0\leqq j\leqq m,d\text{ は }b\text{ の正の約数})$$ の形でちょうど表される。したがって $$f(a)=(1+2+2^2+\cdots +2^m)f(b)$$ である。等比数列の和より $$1+2+\cdots +2^m=2^{m+1}-1$$ なので $f(a)=(2^{m+1}-1)f(b)$ である。

(2) $a=pq$ で $p\geqq 2$ である。$q$ と $pq$ はどちらも $a$ の正の約数であり、互いに異なる。よって $f(a)\geqq q+pq=(p+1)q$ である。

等号が成り立つとする。このとき $a$ の正の約数の和は、すでに数えた $q$ と $pq$ の和だけで尽きていなければならない。ところが1も必ず正の約数であるから、1は $q$ または $pq$ のどちらかである。$pq\geqq 2$ なので $pq=1$ は不可能であり、$q=1$ でなければならない。さらに、正の約数が $1,p$ だけであるため、$p$ は素数である。

逆に、$q=1$ かつ $p$ が素数なら、$a=p$ の正の約数は $1,p$ のみであり、$f(a)=p+1=(p+1)q$ となる。よって等号成立は $$q=1\text{ かつ }p\text{ が素数}$$ の場合に限る。

(3) 条件より $a=2^{2}r,b=2^{4}s$ であり、$r,s$ は正の奇数である。(1) から $$f(a)=7f(r),f(b)=31f(s)$$ である。$f(a)=2b$, $f(b)=2a$ を用いると $$7f(r)=32s,31f(s)=8r$$ となる。

第一式から $s$ は7の倍数であり、第二式から $r$ は31の倍数である。そこで $s=7s_0,r=31r_0$ とおく。すると $$f(r)=32s_0,f(s)=8r_0$$ である。

ここで (2) を $r=31r_0$ に用いると $$f(r)\geqq (31+1)r_0=32r_0$$ である。したがって $32s_0=f(r)\geqq 32r_0$ より $s_0\geqq r_0$ を得る。同様に $s=7s_0$ に (2) を用いると $f(s)\geqq (7+1)s_0=8s_0$ であり、$8r_0=f(s)\geqq 8s_0$ より $r_0\geqq s_0$ を得る。よって $r_0=s_0$ であり、上の2つの不等式はいずれも等号で成り立つ。

(2) の等号条件より、$r=31r_0$ については $r_0=1$ かつ31が素数、$s=7s_0$ については $s_0=1$ かつ7が素数である。したがって $r=31,s=7$ であり、$$a=4\cdot 31=124,b=16\cdot 7=112$$ を得る。

約数 $d$ と $a\mathrm{/}d$ の対応を用いると $f(a)\mathrm{/}a$ は約数の逆数和になる。
この形で(2)の下界と等号条件を捉え、(3)では奇数部分に対する2つの下界が
同時に等号になることを示す。

(1)
$b$ の正の約数を $d$ とすると、$2^{j}d(0\leqq j\leqq m)$ が
$2^{m}b$ の正の約数を重複なく尽くす。したがって$$f(2^{m}b)=\sum _{d\mid b}\sum _{j=0}^m{2}^{j}d=(2^{m+1}-1)\sum _{d\mid b}d=(2^{m+1}-1)f(b)\mathrm{.}$$(2)
$a=pq$ の約数には $q,pq$ が含まれるので
$f(a)\geqq (p+1)q$ である。別の見方をすると$${\displaystyle \frac{f(a)}{a}}=\sum _{d\mid a}{\displaystyle \frac{1}{d}}$$であり、右辺には $1,1\mathrm{/}p$ が含まれるため
$f(a)\mathrm{/}a\geqq 1+1\mathrm{/}p$ となって同じ不等式を得る。
等号なら逆数和にほかの項がなく、約数は $1,p$ だけである。
よって $q=1$ かつ $p$ は素数である。逆も明らかである。

(3)
$a=4r,b=16s$ とし、(1)を使うと$$7f(r)=32s,31f(s)=8r\mathrm{.}$$奇偶性と互いに素であることから $s=7u,r=31v$ と書け、$$f(r)=32u,f(s)=8v\mathrm{.}$$(2)を $r=31v$、$s=7u$ に適用すると$$32u=f(r)\geqq 32v,8v=f(s)\geqq 8u\mathrm{.}$$よって $u=v$ であり、両方が等号である。等号条件から
$u=v=1$、31と7は素数である。したがって$$r=31,s=7,a=124,b=112.$$