九州大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 整数・数と式文系数学 第3問(b)

(1)

自然数 $a,b$ が互いに素であるとは、$a$ と $b$ の正の公約数が1だけであること、すなわち最大公約数が1であることをいう。

(2) $a,b$ が互いに素であるとする。もし $a^2$ と $b^2$ が1より大きい公約数をもつなら、ある素数 $p$ が $a^2$ と $b^2$ の両方を割り切る。素数 $p$ が $a^2$ を割り切るなら $p$ は $a$ を割り切り、同様に $p$ は $b$ も割り切る。これは $a,b$ が互いに素であることに反する。

したがって $a^2$ と $b^2$ は互いに素である。

(3) $\sqrt{n}$ が有理数であるとする。このとき互いに素な自然数 $p,q$ を用いて $$\sqrt{n}={\displaystyle \frac{p}{q}}$$ と表せる。両辺を2乗すると $p^2=n{q}^2$ である。したがって $q^2$ は $p^2$ を割り切る。

しかし $p,q$ は互いに素なので、(2)より $p^2,q^2$ も互いに素である。よって $q^2$ が $p^2$ を割り切るには $q^2=1$、すなわち $q=1$ でなければならない。したがって $$\sqrt{n}=p$$ であり、$\sqrt{n}$ は自然数である。

(4)

(3) より、$\sqrt{n}$、$\sqrt{n+1}$、$\sqrt{n+2}$ が有理数であることは、それぞれ $n$、$n+1$、$n+2$ が平方数であることと同値である。

ところが、正の平方数を小さい順に並べると、隣り合う平方数の差は $(k+1{)}^2-k^2=2k+1$ であり、$k\geqq 1$ では $2k+1\geqq 3$ である。したがって、差が1または2である2つの自然数がともに平方数になることはない。

よって連続する3つの自然数 $n,n+1,n+2$ の中に平方数は高々1つしかない。したがって $\sqrt{n}$、$\sqrt{n+1}$、$\sqrt{n+2}$ のうち少なくとも2つは無理数である。

素因数分解に現れる各素数の指数で考える。
既約分数の分母に素因数があれば2乗後にも残ることを使い、
最後は平方数の差を因数分解して連続3整数を調べる。

(1)
$a,b$ の最大公約数が1、すなわち共通する素因数をもたないことをいう。

(2)
素因数分解で $a^2,b^2$ に現れる素数は、それぞれ
$a,b$ に現れる素数と同じで、指数だけが2倍になる。
$a,b$ に共通する素因数がない以上、$a^2,b^2$ にもない。
よって両者は互いに素である。

(3) $$\sqrt{n}=p\mathrm{/}q$$ を互いに素な自然数 $p,q$ で表すと$$p^2=n{q}^2\mathrm{.}$$もし $q>1$ なら $q$ の素因数 $\mathrm{\ell }$ は右辺を割るので $p^2$ を割り、
したがって $p$ も割る。これは $p,q$ が互いに素であることに反する。
よって $q=1$ で、$$\sqrt{n}=p$$ は自然数である。

(4)
有理な平方根が2つあるとすれば、(3)により
$n,n+1,n+2$ のうち2つが平方数である。
それらを $u^2<v^2$ とすると$$1\leqq v^2-u^2=(v-u)(v+u)\leqq 2.$$自然数 $u<v$ では $v-u\geqq 1,v+u\geqq 3$ なので
積は3以上となり矛盾する。したがって有理なものは高々1つであり、
少なくとも2つは無理数である。