九州大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
3を法として考えると $100-7x\equiv 1-x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。したがって ${\displaystyle \frac{100-7x}{3}}$ が整数であることは、$100-7x$ が3で割り切れること、すなわち $1-x\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ と同値である。よって $x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のときに限り整数であり、それ以外の場合は整数ではない。

(2)
セットAを $x$ セット、セットBを $y$ セット購入するとする。購入した乗車券を余らせず100人で使うので $7x+3y=100$ である。ここで $x,y$ は0以上の整数である。

この式から $${\displaystyle y=\frac{100-7x}{3}}$$ である。(1)より、$y$ が整数になるには $x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ が必要十分である。また $y\geqq 0$ だから $0\leqq x\leqq 14$ である。

したがって $0\leqq x\leqq 14$ の範囲で $x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ をみたすものは $x=1,4,7,10,13$ である。それぞれに対応する $y$ は $y=31,24,17,10,3$ である。よって購入の仕方は $$(A,B)=(1,31),(4,24),(7,17),(10,10),(13,3)$$ である。

(3)
今度は乗車券が余ってもよいので、条件は $7x+3y\geqq 100$ である。固定した $x$ に対して、費用を最小にするには、この不等式をみたす最小の $y$ を選べばよい。

まず $x\geqq 15$ なら、Aだけの費用ですでに $$480x\geqq 480\cdot 15=7200$$ である。一方、後で得る $6900$ 円の購入方法があるので、最小を探すには $0\leqq x\leqq 14$ だけを調べれば十分である。

$x=3k$ のとき、必要なBの最小セット数は $y=34-7k$ であり、費用は $$480(3k)+220(34-7k)=7480-100k$$ である。この場合 $k=0,1,2,3,4$ だから、最小は $k=4$、すなわち $x=12,y=6$ のとき $7080\text{円}$ である。

$x=3k+1$ のとき、必要なBの最小セット数は $y=31-7k$ であり、費用は $$480(3k+1)+220(31-7k)=7300-100k$$ である。この場合も $k=0,1,2,3,4$ だから、最小は $k=4$、すなわち $x=13,y=3$ のとき $6900\text{円}$ である。

$x=3k+2$ のとき、必要なBの最小セット数は $y=29-7k$ であり、費用は $$480(3k+2)+220(29-7k)=7340-100k$$ である。$k=0,1,2,3,4$ なので、最小は $k=4$、すなわち $x=14,y=1$ のとき $6940\text{円}$ である。

以上を比較すると、購入金額が最も低くなるのは $A\text{を}13\text{セット},B\text{を}3\text{セット}$ 購入するときであり、その金額は $6900\text{円}$ である。