九州大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $n$ は正の偶数であるから、ある正の整数 $m$ を用いて $n=2m$ と書ける。ここで $2^2=4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。したがって $$2^n=2^{2m}=(2^2{)}^m\equiv 1^m\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$ である。よって $2^n-1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ となる。つまり $2^n-1$ は3の倍数である。

(2)

まず $p=2$ の場合を調べる。このとき $2^{p-1}-1=2^1-1=1$ である。一方、右辺は $p^k=2^k$ であるから、方程式は $2^k=1$ となる。$k$ は0以上の整数なので、これは $k=0$ のときに限り成り立つ。したがって $(p,k)=(2,0)$ は解である。

次に $p$ が奇素数である場合を考える。このとき $p-1$ は正の偶数である。したがって (1) より $2^{p-1}-1$ は3の倍数である。よって、等式 $2^{p-1}-1=p^k$ が成り立つなら、右辺 $p^k$ も3の倍数でなければならない。

ここで $k=0$ なら $p^k=1$ であり、3の倍数ではない。したがって奇素数の場合には $k\geqq 1$ である。$k\geqq 1$ のもとで $p^k$ が3の倍数になるためには、素数 $p$ 自身が3でなければならない。よって $p=3$ が必要である。

実際に $p=3$ を代入すると $2^{p-1}-1=2^2-1=3$ であるから、$3^k=3$ を得る。したがって $k=1$ である。

以上より、条件を満たす組は $(p,k)=(2,0),(3,1)$ である。実際、$p=2,k=0$ では $2^1-1=1=2^0$、$p=3,k=1$ では $2^2-1=3=3^1$ となり、どちらも条件を満たす。