九州大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+6x+1=3(x+1{)}^2-2$$ である。傾きが $t$ である接線の接点の $x$ 座標は $f^{\mathrm{\prime }}(x)=t$ をみたす。すなわち $3(x+1{)}^2-2=t$ より $${\displaystyle (x+1{)}^2=\frac{t+2}{3}}$$ である。

$t\geqq 0$ のとき $${\displaystyle \frac{t+2}{3}>0}$$ だから、この方程式は異なる2つの実数解をもつ。したがって曲線Cは傾きが $t$ である接線を2本もつ。

(2) $${\displaystyle s=\sqrt{\frac{t+2}{3}}}$$ とおくと、$s>0$ であり、2つの接点の $x$ 座標は $p=-1-s,q=-1+s$ と表せる。

ここで $x=-1+u$ とおくと $$f(-1+u)=(-1+u{)}^3+3(-1+u{)}^2+(-1+u)-1=u^3-2u$$ である。したがって $$f(-1-s)=(-s{)}^3-2(-s)=-s^3+2s$$ であり、$f(-1+s)=s^3-2s$ である。

よって2点P,Qは $$P=(-1-s,-s^3+2s),Q=(-1+s,s^3-2s)$$ である。これらの中点は $${\displaystyle (\frac{(-1-s)+(-1+s)}{2},\frac{(-s^3+2s)+(s^3-2s)}{2})=(-1,0)}$$ である。したがってPとQは点 $A(-1,0)$ に関して対称の位置にある。

対称性を図で確認すると次のようになる。図は $t=0$、
すなわち $s^2=2\mathrm{/}3$ の場合で、2本の接線は水平である。

(3)
(2)の表記を用いると、$$P{Q}^2=(2s{)}^2+\{2(s^3-2s){\}}^2=4s^2\{1+(s^2-2{)}^2\}$$ である。また $t\geqq 0$ だから $${\displaystyle s^2=\frac{t+2}{3}\geqq \frac{2}{3}}$$ である。

$z=s^2$ とおくと、最小化すべき式は $P{Q}^2=4z\{1+(z-2{)}^2\}$ であり、$z\geqq 2\mathrm{/}3$ である。右辺を $F(z)=4z\{1+(z-2{)}^2\}$ とおくと、$$F^{\mathrm{\prime }}(z)=4(3z^2-8z+5)=4(3z-5)(z-1)$$ である。

したがって $z\geqq 2\mathrm{/}3$ での候補は、端点 $${\displaystyle z=\frac{2}{3}}$$ と、臨界点 $${\displaystyle z=1,z=\frac{5}{3}}$$ である。それぞれの値は$$F\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{200}{27},F(1)=8,F\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{200}{27}$$である。また $z\to \mathrm{\infty }$ では $F(z)\to \mathrm{\infty }$ だから、最小値は ${\displaystyle \frac{200}{27}}$ である。

よって距離 $PQ$ の最小値は $${\displaystyle \sqrt{\frac{200}{27}}=\frac{10\sqrt{6}}{9}}$$ である。最小値を与えるのは $${\displaystyle s^2=\frac{2}{3},\frac{5}{3}}$$ の2通りであるから、対応する $p,q$ は $${\displaystyle (p,q)=(-1-\sqrt{\frac{2}{3}},-1+\sqrt{\frac{2}{3}}),}$$ または $${\displaystyle (p,q)=(-1-\sqrt{\frac{5}{3}},-1+\sqrt{\frac{5}{3}})}$$ である。