九州大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $n$ は正の偶数なので、$n=2m$ と書ける。$2^2=4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ であるから $$2^n=2^{2m}=(2^2{)}^m\equiv 1^m\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$ である。よって $2^n-1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ となり、$2^n-1$ は3の倍数である。

(2) $2^n+1$ と $2^n-1$ の正の公約数を $d$ とする。このとき $d$ は差 $(2^n+1)-(2^n-1)=2$ を割り切る。したがって $d$ は1または2である。

一方、$2^n+1$ も $2^n-1$ も奇数であるから、2を公約数にもつことはない。したがって $d=1$ であり、$2^n+1$ と $2^n-1$ は互いに素である。

(3)

まず $p=2$ とすると、左辺は $2^{p-1}-1=1$ であるが、右辺 $p{q}^2$ は2以上なので不可能である。

以下、$p$ は奇素数とする。このとき $p-1$ は正の偶数であるから、(1)より $2^{p-1}-1$ は3の倍数である。したがって右辺 $p{q}^2$ も3の倍数であり、$p=3$ または $q=3$ である。

もし $p=3$ なら $2^{p-1}-1=2^2-1=3$ であり、方程式は $3=3q^2$ となる。これは $q^2=1$ を意味し、$q$ が素数であることに反する。よって $p\mathrm{\ne }3$ であり、したがって $q=3$ である。

このとき方程式は $2^{p-1}-1=9p$ である。$p$ は3でない奇素数なので、$$m=\frac{p-1}{2}$$ とおくと $m$ は正の整数で、$$2^{p-1}-1=(2^m-1)(2^m+1)$$ である。よって $(2^m-1)(2^m+1)=9p$ である。

もし $m=1$ なら左辺は $3$ で $9p$ に等しくないから、$m\geqq 2$ である。よって2因子はともに $1$ より大きい。(2)より $2^m-1$ と $2^m+1$ は互いに素で、積は $3^{2}p$ である。しかも $p\mathrm{\ne }3$ なので、互いに素な2因子への素因数の分配は $9$ と $p$ に限られる。したがって一方が $9$、他方が $p$ である。

もし $2^m-1=9$ なら $2^m=10$ となり不可能である。したがって $2^m+1=9$ でなければならない。このとき $2^m=8$ より $m=3$ である。よって $p=2m+1=7$ である。実際、$$2^{7-1}-1=64-1=63=7\cdot 3^2$$ であるから条件を満たす。

したがって求める組は $(p,q)=(7,3)$ である。