九州大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $$2^1\equiv 2,2^2\equiv 4,2^3\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$$であり、以後は周期3で繰り返す。したがって$$\begin{array}{cccc}n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)& 1& 2& 0\\ 2^n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)& 2& 4& 1\end{array}$$となる。

(2) ${101}_{(2)}=5$ であり、3桁のずれは $2^3=8$ 倍に対応する。よって$$m=5(8^5+8^4+8^3+8^2+8+1)$$である。$8\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ だから$$m\equiv 5(1+1+1+1+1+1)=30\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$$となる。求める余りは $2$ である。

(1) は $2^{n+3}-2^n=7\cdot 2^n$ を用いて周期性を直接示す。(2) は2進表示で1が立っている桁を指数 $3j$ と $3j+2$ に分け、そのまま合同式で足す。

(1) 任意の自然数 $n$ に対して$$2^{n+3}-2^n=7\cdot 2^n$$だから、$2^{n+3}$ と $2^n$ は7で割った余りが等しい。最初の3項は$$2,4,1$$なので、$n\equiv 1,2,0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ の順に余りは $2,4,1$ である。

(2) 右端のブロックを $j=0$ とすると、各 $101$ で1が立つ桁は $3j$ と $3j+2$ である。したがって$$m=\sum _{j=0}^5(2^{3j+2}+2^{3j})$$となる。$2^3\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ より、各 $j$ について$$2^{3j+2}+2^{3j}\equiv 4+1=5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$$である。6ブロックを足して$$m\equiv 6\cdot 5=30\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$$を得る。したがって余りは $2$ である。