問題
整数，は3の倍数ではないとし，
とおく。以下の問いに答えよ。
(1)とを3で割った余りをそれぞれ求めよ。
(2)を満たす整数は存在しないことを示せ。
(3)を満たす有理数が存在するような組をすべて求めよ。
出典：九州大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
解法1
3の倍数でない整数の平方は3を法として1であることを使う。(2)(3) は整数根・有理根の候補を定数項と最高次係数から絞り、各候補を元の式へ代入する。
解法2
有理根の定理を名前だけで使わず、既約分数 を代入して分母・分子の整除関係を直接導く。これにより分子が1、分母が2に限られることを示す。
解答
解法1
(1)
は3の倍数でないので
である。したがって
および
となる。余りはそれぞれ である。
(2)
整数根があれば定数項1の約数なので に限られる。ところが
であり、
だから、どちらも0ではない。よって整数根は存在しない。
(3)
有理根の候補は
である。(2) から は除かれる。また
だから、残る候補は だけである。代入すると
なので
を得る。整数の因数対
を調べると
となる。いずれも条件を満たし、実際に を根にもつ。
解法2
(1)
を に代入すると
である。
(2)
では である。整数根 があると仮定すると
となる。左辺の2因子は整数なので に限られる。しかし
であり矛盾する。よって整数根はない。
(3)
有理根があるとし、互いに素な自然数 を用いて
と書く。代入して を掛けると
である。これを
と見ると、 より である。さらに
すなわち
だから は2の正の約数である。 は整数根 となり (2) に反するので 、すなわち である。
あとは
を因数分解して
とし、4組の整数因数対を調べる。よって
を得る。