九州大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $a,b$ は3の倍数でないので$$a^2\equiv b^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$である。したがって$$f(1)\equiv 2+1+2+1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$および$$f(2)\equiv 1+1+1+1\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$となる。余りはそれぞれ $0,1$ である。

(2) 整数根があれば定数項1の約数なので $x=\pm 1$ に限られる。ところが$$f(1)=a^2+2b^2+3>0$$であり、$$f(-1)=a^2-2b^2-1\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$だから、どちらも0ではない。よって整数根は存在しない。

(3) 有理根の候補は$$\pm 1,\pm \frac{1}{2}$$である。(2) から $\pm 1$ は除かれる。また$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{a^2+4b^2+5}{4}>0$$だから、残る候補は $-1\mathrm{/}2$ だけである。代入すると$$f(-\frac{1}{2})=\frac{a^2-4b^2+3}{4}$$なので$$(2b-a)(2b+a)=3$$を得る。整数の因数対$$(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)$$を調べると$$(a,b)=(1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1)$$となる。いずれも条件を満たし、実際に $x=-1\mathrm{/}2$ を根にもつ。

有理根の定理を名前だけで使わず、既約分数 $x=-q\mathrm{/}p$ を代入して分母・分子の整除関係を直接導く。これにより分子が1、分母が2に限られることを示す。

(1) $$a^2\equiv b^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$ を $f(1),f(2)$ に代入すると$$f(1)\equiv 0,f(2)\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$である。

(2) $x\geqq 0$ では $f(x)>0$ である。整数根 $x<0$ があると仮定すると$$x(2x^2+a^{2}x+2b^2)=-1$$となる。左辺の2因子は整数なので $x=-1$ に限られる。しかし$$f(-1)\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$であり矛盾する。よって整数根はない。

(3) 有理根があるとし、互いに素な自然数 $p,q$ を用いて$$x=-\frac{q}{p}$$と書く。代入して $p^3$ を掛けると$$-2q^3+a^2{q}^{2}p-2b^{2}q{p}^2+p^3=0$$である。これを$$p^3=q(2q^2-a^{2}qp+2b^2{p}^2)$$と見ると、$(p,q)=1$ より $q=1$ である。さらに$$p^3-2b^2{p}^2+a^{2}p-2=0$$すなわち$$2=p(p^2-2b^{2}p+a^2)$$だから $p$ は2の正の約数である。$p=1$ は整数根 $x=-1$ となり (2) に反するので $p=2$、すなわち $x=-1\mathrm{/}2$ である。

あとは$$a^2-4b^2+3=0$$を因数分解して$$(2b-a)(2b+a)=3$$とし、4組の整数因数対を調べる。よって$$(a,b)=(1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1)$$を得る。