九州大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

赤玉の個数を $r$ とする。袋には常に3個の玉が入っているので、赤玉が $r$ 個のとき、次の操作で$$r\to r-1\text{となる確率は }\frac{r}{3},r\to r+1\text{となる確率は }\frac{3-r}{3}$$である。ただし、操作後に $r=0$ となったとき硬貨を1枚もらう。

赤玉数と硬貨の枚数を $(r,c)$ で表す。最初は $(2,0)$ である。1回目の操作後は $(1,0):\frac{2}{3},(3,0):\frac{1}{3}$ である。

2回目の操作後は$$(0,1):\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{9},(2,0):\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{7}{9}$$である。

3回目の操作後は、$(0,1)$ からは必ず青玉を引いて $(1,1)$ へ移り、$(2,0)$ からは赤を引けば $(1,0)$、青を引けば $(3,0)$ へ移る。したがって$$(1,1):\frac{2}{9},(1,0):\frac{7}{9}\cdot \frac{2}{3}=\frac{14}{27},(3,0):\frac{7}{9}\cdot \frac{1}{3}=\frac{7}{27}$$である。

4回目の操作後に硬貨の総数が1枚になる場合を集める。$(1,1)$ から赤を引くと $(0,2)$ になって硬貨は2枚になるので、硬貨1枚の場合には青を引く必要があり、その確率は $$\frac{2}{9}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{27}$$ である。また $(1,0)$ から赤を引くと $(0,1)$ になり、確率は $$\frac{14}{27}\cdot \frac{1}{3}=\frac{14}{81}$$ である。したがって硬貨の総数が1枚である確率は $$\frac{4}{27}+\frac{14}{81}=\frac{12+14}{81}=\frac{26}{81}$$ である。

硬貨の総数が2枚になるには、3回目の時点で $(1,1)$ にあり、4回目に赤玉を引いて再びすべて青玉になる必要がある。その確率は $$\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{27}$$ である。

2回の操作を1組として、偶数回後の赤玉数を0個または2個の2状態にまとめる。2組分の遷移だけで硬貨1枚・2枚の経路を数える。

2回を1組にして見ると、偶数回後の赤玉数は $0$ または $2$ だけである。赤玉2個の状態から2回操作すると、2回目に硬貨をもらって赤玉0個になる確率は $$\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{9}$$ であり、赤玉2個に戻る確率は $7\mathrm{/}9$ である。また赤玉0個の状態から2回操作すると、赤玉0個に戻って硬貨を1枚もらう確率は $1\mathrm{/}3$、赤玉2個になる確率は $2\mathrm{/}3$ である。

4回後に硬貨2枚となるのは $2\to 0\to 0$ の場合だけなので $$\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{27}$$ である。硬貨1枚となるのは $2\to 0\to 2$ または $2\to 2\to 0$ の場合であり、$$\frac{2}{9}\cdot \frac{2}{3}+\frac{7}{9}\cdot \frac{2}{9}=\frac{4}{27}+\frac{14}{81}=\frac{26}{81}$$となる。