Evolton
方針
赤玉数は1回ごとに1だけ増減するため、偶奇でまず (2) が分かる。長い回数は1回ごとではなく2回を1組にすると、偶数回後の赤玉数は0または2だけになり、2状態の遷移で処理できる。赤玉2個から2回で赤玉0個になる確率は 、赤玉2個に戻る確率は 。赤玉0個から2回で赤玉0個に戻る確率は 、赤玉2個になる確率は 。この2回遷移で、初到達と硬貨1枚の確率を数える。
解答
(1)
最初は赤玉2個、青玉1個である。2回目の操作で硬貨をもらうには、1回目と2回目に続けて赤玉を取り出し、操作後に赤玉が0個になればよい。
1回目に赤玉を取り出す確率は である。この後、赤玉1個、青玉2個になるので、2回目に赤玉を取り出す確率は である。したがって求める確率は である。
(2)
赤玉の個数は、赤玉を取り出せば1減り、青玉を取り出せば1増える。したがって1回の操作ごとに赤玉の個数の偶奇は必ず変わる。
最初の赤玉の個数は2個で偶数である。よって奇数回目の操作の直後には、赤玉の個数は奇数である。硬貨をもらうのは赤玉の個数が0個、すなわち偶数になったときであるから、奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。
(3)
2回の操作を1組として見る。偶数回目の直後、赤玉数は0または2である。
赤玉2個の状態から2回操作すると、赤玉を2回続けて引いたときに赤玉0個となり、硬貨を1枚もらう。この確率は である。それ以外では赤玉2個に戻るので、その確率は である。
8回目ではじめて硬貨をもらうには、最初の3組、すなわち6回目までは赤玉2個に戻り続け、最後の4組目で赤玉0個になればよい。したがって確率は である。
(4)
同じ2回遷移を用いる。赤玉0個の状態から2回操作すると、1回目は必ず青玉を取り出して赤玉1個になる。2回目に赤玉を取り出せば再び赤玉0個となり、硬貨を1枚もらう。この確率は である。2回目に青玉を取り出せば赤玉2個となり、硬貨はもらわない。この確率は である。
4組、すなわち8回の操作で硬貨がちょうど1枚になる場合を、どの組でただ1枚の硬貨をもらうかで分ける。
1組目で硬貨をもらう場合は となる必要があるので、確率は である。
2組目で硬貨をもらう場合は であり、確率は である。
3組目で硬貨をもらう場合は であり、確率は である。
4組目で硬貨をもらう場合は、それまで硬貨をもらわず赤玉2個に戻り続け、最後に赤玉0個になればよいので、確率は である。
したがって求める確率はである。計算するとである。
総評
難度6、計算量6。目安時間は24分。1回ごとの状態表でも解けるが、2回を1組にすると偶数回後の赤玉数が0または2に限られ、計算が大幅に整理される。(2) の偶奇性は短いが重要で、奇数回目を最初から除外できる。(3) は「初めて」なので、最初の3組で赤玉2個に戻り続ける必要がある。(4) は硬貨をもらった後、次の2回組で赤玉0個に留まるともう1枚増えるため、必ず を選ぶ条件を入れる。場合分けの各確率を積で書くと、分母 への整理も追いやすい。