名古屋大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $$g(x)=x(x-4{)}^2=x^3-8x^2+16x$$ であるから $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-16x+16=(3x-4)(x-4)$$ である。したがって増減は$$\begin{array}{cccccc}x& (-\mathrm{\infty },\frac{4}{3})& \frac{4}{3}& (\frac{4}{3},4)& 4& (4,\mathrm{\infty })\\ g^{\mathrm{\prime }}(x)& +& 0& -& 0& +\end{array}$$となる。よって$x=4\mathrm{/}3$で極大，$x=4$で極小であり，$$g\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{4}{3}{(-\frac{8}{3})}^2=\frac{256}{27},g(4)=0$$である。グラフは$x=0$で$x$軸を横切り，$x=4$で$x$軸に接する3次曲線である。

(2)
2つの曲線の交点の$x$座標は $a{x}^2=x(x-4{)}^2$ を満たす。整理すると $x\{(x-4{)}^2-ax\}=0$ であるから，まず$x=0$が1つの解である。残りは $x^2-(a+8)x+16=0$ の解である。この2次方程式の判別式は $(a+8{)}^2-64=a(a+16)$ であり，$a>0$より正である。さらに2根の和は$a+8>0$，積は$16>0$なので，2根はいずれも正で，互いに異なる。

したがって，$x=0$と，この2次方程式の2つの正の解に対応する合計3つの相異なる点で交わる。

(3)
2次方程式の2根を $0<\alpha <\beta$ とおく。このとき $$\alpha +\beta =a+8,\alpha \beta =16$$ である。また $$g(x)-f(x)=x\{(x-4{)}^2-ax\}=x(x-\alpha )(x-\beta )$$ である。 $0<x<\alpha$では$g(x)-f(x)>0$，$\alpha <x<\beta$では$g(x)-f(x)<0$である。したがって2つの部分の面積が等しい条件は $${\int }_0^{\alpha }\{g(x)-f(x)\}dx=-{\int }_{\alpha }^{\beta }\{g(x)-f(x)\}dx$$ であり，これは $${\int }_0^{\beta }x(x-\alpha )(x-\beta )dx=0$$ と同値である。

ここで$\alpha \beta =16$より$\alpha =16\mathrm{/}\beta$である。積分を計算すると$${\int }_0^{\beta }x(x-\alpha )(x-\beta )dx={[\frac{x^4}{4}-\frac{\alpha +\beta }{3}{x}^3+\frac{\alpha \beta }{2}{x}^2]}_0^{\beta }$$であり，$\alpha =16\mathrm{/}\beta$を代入して $$=\frac{{\beta }^2(32-{\beta }^2)}{12}$$ となる。$\beta >0$だから，面積が等しい条件は ${\beta }^2=32$ すなわち $\beta =4\sqrt{2}$ である。したがって $$\alpha =\frac{16}{4\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$$ である。

最後に $$a=\alpha +\beta -8=6\sqrt{2}-8$$ を得る。この値は正である。よって求める$a$は $a=6\sqrt{2}-8$ であり，そのときの交点の$x$座標は $0,2\sqrt{2},4\sqrt{2}$ である。

交点の $x$ 座標を $0,\alpha ,\beta$ とし、解と係数の関係で $g-f=x(x-\alpha )(x-\beta )$ を作る。2領域の等積条件を符号付き面積 ${\int }_0^{\beta }(g-f)dx=0$ と読み替え、$\alpha \beta =16$ を先に使って簡約する。(1)では零点・極値・接点を図中にも明示する。

(1) $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=(3x-4)(x-4)$$より、$g$ は $x<4\mathrm{/}3$ で増加、$4\mathrm{/}3<x<4$ で減少、$x>4$ で増加する。したがって$$g\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{256}{27}$$が極大値、$g(4)=0$ が極小値である。また $g(x)=x(x-4{)}^2$ より、$x=0$ で $x$ 軸を横切り、$x=4$ で接する。

(2)
交点の条件は$$x\{x^2-(a+8)x+16\}=0.$$2次式の判別式は$$(a+8{)}^2-64=a(a+16)>0.$$さらに2根の和は正、積は $16>0$ なので、2根は相異なる正の数である。よって $x=0$ と合わせて相異なる3交点をもつ。

(3)
2次式の2根を $0<\alpha <\beta$ とすると$$\alpha +\beta =a+8,\alpha \beta =16,$$また$$g(x)-f(x)=x(x-\alpha )(x-\beta )\mathrm{.}$$この差は $(0,\alpha )$ で正、$(\alpha ,\beta )$ で負だから、等積条件は$${\int }_0^{\beta }x(x-\alpha )(x-\beta )dx=0$$である。積分して $\alpha \beta =16$ を使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle =\frac{{\beta }^4}{4}-\frac{\alpha +\beta }{3}{\beta }^3+8{\beta }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\beta }^2(32-{\beta }^2)}{12}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\beta =4\sqrt{2},\alpha =\frac{16}{\beta }=2\sqrt{2}\mathrm{.}$$ゆえに$$a=\alpha +\beta -8=6\sqrt{2}-8,$$交点の $x$ 座標は$$0,2\sqrt{2},4\sqrt{2}$$である。