名古屋大学 2017年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a$ を正の定数とする。2次関数

f (x) = a x^{2}

と3次関数

g (x) = x (x - 4)^{2}

について、次の問いに答えよ。

(1) 関数 $y = g (x)$ について、極値を求め、そのグラフを描け。

(2) 2つの曲線 $y = f (x)$ と $y = g (x)$ は相異なる3点で交わることを示せ。

(3) 2つの曲線 $y = f (x)$ と $y = g (x)$ で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるように $a$ の値を定めよ。また、そのときの2つの曲線の交点の $x$ 座標を求めよ。

出典：名古屋大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

解法1

まず $g (x) = x (x - 4)^{2}$ の導関数から増減と極値を整理する。交点は $a x^{2} = x (x - 4)^{2}$ を解き， $x = 0$ と2次方程式の2根 $α, β$ で表す。2つの囲まれた部分は $[0, α]$ と $[α, β]$ に分かれ，面積が等しい条件は符号付き面積 $\int_{0}^{β} (g - f) d x = 0$ と同値になる。 $α β = 16$ を使って積分を $β$ だけで表し，最後に $a = α + β - 8$ へ戻す。

解法2

交点の $x$ 座標を $0, α, β$ とし、解と係数の関係で $g - f = x (x - α) (x - β)$ を作る。2領域の等積条件を符号付き面積 $\int_{0}^{β} (g - f) d x = 0$ と読み替え、 $α β = 16$ を先に使って簡約する。(1)では零点・極値・接点を図中にも明示する。

解答

解法1

(1)

$g (x) = x (x - 4)^{2} = x^{3} - 8 x^{2} + 16 x$ であるから $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 16 x + 16 = (3 x - 4) (x - 4)$ である。したがって増減は

x g^{'} (x) (- \infty, \frac{4}{3}) + \frac{4}{3} 0 (\frac{4}{3}, 4) - 40 (4, \infty) +

となる。よって $x = 4/3$ で極大， $x = 4$ で極小であり，

g (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} (- \frac{8}{3})^{2} = \frac{256}{27}, g (4) = 0

である。グラフは $x = 0$ で $x$ 軸を横切り， $x = 4$ で $x$ 軸に接する3次曲線である。

(2)

2つの曲線の交点の $x$ 座標は $a x^{2} = x (x - 4)^{2}$ を満たす。整理すると $x {(x - 4)^{2} - a x} = 0$ であるから，まず $x = 0$ が1つの解である。残りは $x^{2} - (a + 8) x + 16 = 0$ の解である。この2次方程式の判別式は $(a + 8)^{2} - 64 = a (a + 16)$ であり， $a > 0$ より正である。さらに2根の和は $a + 8 > 0$ ，積は $16 > 0$ なので，2根はいずれも正で，互いに異なる。

したがって， $x = 0$ と，この2次方程式の2つの正の解に対応する合計3つの相異なる点で交わる。

(3)

2次方程式の2根を $0 < α < β$ とおく。このとき $α + β = a + 8, α β = 16$ である。また $g (x) - f (x) = x {(x - 4)^{2} - a x} = x (x - α) (x - β)$ である。 $0 < x < α$ では $g (x) - f (x) > 0$ ， $α < x < β$ では $g (x) - f (x) < 0$ である。したがって2つの部分の面積が等しい条件は $\int_{0}^{α} {g (x) - f (x)} d x = - \int_{α}^{β} {g (x) - f (x)} d x$ であり，これは $\int_{0}^{β} x (x - α) (x - β) d x = 0$ と同値である。

ここで $α β = 16$ より $α = 16/ β$ である。積分を計算すると

\int_{0}^{β} x (x - α) (x - β) d x = [\frac{x ^{4}}{4} - \frac{α + β}{3} x^{3} + \frac{α β}{2} x^{2}]_{0}^{β}

であり， $α = 16/ β$ を代入して $= \frac{β ^{2} ( 32 - β ^{2} )}{12}$ となる。 $β > 0$ だから，面積が等しい条件は $β^{2} = 32$ すなわち $β = 42$ である。したがって $α = \frac{16}{4 2} = 22$ である。

最後に $a = α + β - 8 = 62 - 8$ を得る。この値は正である。よって求める $a$ は $a = 62 - 8$ であり，そのときの交点の $x$ 座標は $0, 22, 42$ である。

解法2

(1)

g^{'} (x) = (3 x - 4) (x - 4)

より、 $g$ は $x < 4/3$ で増加、 $4/3 < x < 4$ で減少、 $x > 4$ で増加する。したがって

g (\frac{4}{3}) = \frac{256}{27}

が極大値、 $g (4) = 0$ が極小値である。また $g (x) = x (x - 4)^{2}$ より、 $x = 0$ で $x$ 軸を横切り、 $x = 4$ で接する。

(2)

交点の条件は

x {x^{2} - (a + 8) x + 16} = 0.

2次式の判別式は

(a + 8)^{2} - 64 = a (a + 16) > 0.

さらに2根の和は正、積は $16 > 0$ なので、2根は相異なる正の数である。よって $x = 0$ と合わせて相異なる3交点をもつ。

(3)

2次式の2根を $0 < α < β$ とすると

α + β = a + 8, α β = 16,

また

g (x) - f (x) = x (x - α) (x - β) .

この差は $(0, α)$ で正、 $(α, β)$ で負だから、等積条件は

\int_{0}^{β} x (x - α) (x - β) d x = 0

である。積分して $α β = 16$ を使うと

0 = \frac{β ^{4}}{4} - \frac{α + β}{3} β^{3} + 8 β^{2} = \frac{β ^{2} ( 32 - β ^{2} )}{12} .

したがって

β = 42, α = \frac{16}{β} = 22 .

ゆえに

a = α + β - 8 = 62 - 8,

交点の $x$ 座標は

0, 22, 42

である。

名古屋大学 2017年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2017年度
文系数学第1問