名古屋大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $a<b<c$であるから $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<\frac{3}{a}$$ である。左辺は$1\mathrm{/}2$なので $\frac{1}{2}<\frac{3}{a}$ より$a<6$である。また$1\mathrm{/}a<1\mathrm{/}2$でなければならないので$a>2$である。したがって $a=3,4,5$ を調べればよい。 $a=3$のとき $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{6}$ である。両辺に$6bc$をかけて整理すると $bc-6b-6c=0$ すなわち $(b-6)(c-6)=36$ である。$b<c$より，36の約数の小さい方だけを見ればよく，$$(b,c)=(7,42),(8,24),(9,18),(10,15)$$ を得る。 $a=4$のとき $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{4}$ であるから $(b-4)(c-4)=16$ である。$b<c$より $(b,c)=(5,20),(6,12)$ を得る。 $a=5$のとき $$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{10}$$ である。これを$c$について解くと $$c=\frac{10b}{3b-10}$$ である。さらに$c>b$なら $$\frac{10b}{3b-10}>b$$ より$b<20\mathrm{/}3$である。$b>a=5$なので$b=6$しかないが，このとき$c=60\mathrm{/}8$で整数ではない。したがって$a=5$からは解は出ない。

以上より，条件を満たす組は $(3,7,42),(3,8,24),(3,9,18),(3,10,15),(4,5,20),(4,6,12)$ である。

(2)
条件を満たす$(p,q,r)$があるとする。そこで $$a=\frac{2n}{p},b=\frac{2n}{q},c=\frac{2n}{r}$$ とおく。$p,q,r$は$2n$の正の約数なので，$a,b,c$は自然数である。また$p>q>r$より $a<b<c$ である。さらに$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{p}{2n}+\frac{q}{2n}+\frac{r}{2n}=\frac{p+q+r}{2n}=\frac{1}{2}$$である。したがって$(a,b,c)$は(1)で求めた6組のいずれかである。

逆に，(1)の組$(a,b,c)$について，$a,b,c$がすべて$2n$の約数であれば $$p=\frac{2n}{a},q=\frac{2n}{b},r=\frac{2n}{c}$$ は$2n$の正の約数であり，$a<b<c$から$p>q>r$となる。また $$p+q+r=2n(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=n$$ である。よって，求める組は(1)の6組と対応している。

各組について，$a,b,c$がすべて$2n$を割り切る条件を調べる。必要十分条件は$$\begin{array}{cc}(a,b,c)& n\text{-condition}\\ (3,7,42)& 21\mid n\\ (3,8,24)& 12\mid n\\ (3,9,18)& 9\mid n\\ (3,10,15)& 15\mid n\\ (4,5,20)& 10\mid n\\ (4,6,12)& 6\mid n\end{array}$$である。たとえば$(3,7,42)$では$42\mid 2n$，すなわち$21\mid n$が必要十分である。他も同様に，$\mathrm{lcm}(a,b,c)\mid 2n$を整理したものである。

(1) の組は6個しかないので，$f(n)$の最大値は高々6である。上の6条件をすべて満たす$n$を取れば6個すべてが実現するので，最大値は $M=6$ である。そのような$n$のうち最小のものは $$\mathrm{lcm}(21,12,9,15,10,6)=2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=1260$$ である。

(1) では $a=3,4,5$ に絞った後、$c=\frac{2ab}{(a-2)b-2a}$ と $c>b$ から $b$ の短い候補列を直接調べる。(2)では6組との対応を使い、$f(n)$ を6個の倍数条件の指示関数の和として明示する。

(1)
大小関係から$$\frac{1}{2}<\frac{3}{a}$$なので $a<6$、また $1\mathrm{/}a<1\mathrm{/}2$ なので $a>2$。よって $a=3,4,5$ だけを調べる。与式を $c$ について解くと$$c=\frac{2ab}{(a-2)b-2a}\mathrm{.}$$$a=3$ では $c>b$ より $6<b<12$。$b=7,8,9,10,11$ を代入し、$c$ が自然数となるものを残すと$$(b,c)=(7,42),(8,24),(9,18),(10,15)\mathrm{.}$$$a=4$ では $4<b<8$ であり、$$(b,c)=(5,20),(6,12)\mathrm{.}$$$a=5$ では $5<b<20\mathrm{/}3$ なので $b=6$ だけだが、$c=60\mathrm{/}8$ は自然数でない。したがって$$\begin{array}{c}{\displaystyle (3,7,42),(3,8,24),(3,9,18),}\\ {\displaystyle (3,10,15),(4,5,20),(4,6,12)}\end{array}$$がすべてである。

(2)
条件を満たす $(p,q,r)$ から$$a=\frac{2n}{p},b=\frac{2n}{q},c=\frac{2n}{r}$$を作ると(1)の組になる。逆に、(1)の組の各数が $2n$ を割り切れば$$p=\frac{2n}{a},q=\frac{2n}{b},r=\frac{2n}{c}$$が条件を満たす。よって一対一に対応する。

6組が使える条件は順に$$21\mid n,12\mid n,9\mid n,15\mid n,10\mid n,6\mid n\mathrm{.}$$したがって最大値は$$M=6.$$初めて6条件をすべて満たす自然数は$$\mathrm{lcm}(21,12,9,15,10,6)=2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=1260$$である。