名古屋大学 2017年度文系数学第2問解答・解説

問題

下図のような立方体を考える。この立方体の8つの頂点上を点 $P$ が次の規則で移動する。

時刻0では点 $P$ は頂点 $A$ にいる。時刻が1増えるごとに、点 $P$ は、今いる頂点と辺で結ばれている頂点へ等確率で移動する。例えば、時刻 $n$ で点 $P$ が頂点 $H$ にいるとすると、時刻 $n + 1$ では、それぞれ $\frac{1}{3}$ の確率で頂点 $D, E, G$ のいずれかにいる。

自然数 $n ≧ 1$ に対して、次の確率を定める。

(i) 点 $P$ が時刻 $n$ までの間に一度も頂点 $A$ に戻らず、かつ時刻 $n$ で頂点 $B, D, E$ のいずれかにいる確率を $p_{n}$ とする。

(ii) 点 $P$ が時刻 $n$ までの間に一度も頂点 $A$ に戻らず、かつ時刻 $n$ で頂点 $C, F, H$ のいずれかにいる確率を $q_{n}$ とする。

(iii) 点 $P$ が時刻 $n$ までの間に一度も頂点 $A$ に戻らず、かつ時刻 $n$ で頂点 $G$ にいる確率を $r_{n}$ とする。

このとき、次の問いに答えよ。

(1) $p_{2}, q_{2}, r_{2}$ および $p_{3}, q_{3}, r_{3}$ を求めよ。

(2) $n ≧ 2$ のとき、 $p_{n}, q_{n}, r_{n}$ を求めよ。

(3) 自然数 $m ≧ 1$ に対して、点 $P$ が時刻 $2 m$ で頂点 $A$ に初めて戻る確率 $s_{m}$ を求めよ。

出典：名古屋大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

解法1

立方体の頂点を，頂点 $A$ から辺何本で到達できるかによって3つの群に分ける。距離1の群を $P$ ，距離2の群を $Q$ ，対頂点 $G$ を $R$ とすると， $A$ へ戻らない条件を保ったまま3状態の漸化式が立つ。偶数時刻では $Q$ だけ，奇数時刻では $P, R$ だけが現れるため， $q_{n + 2} = \frac{7}{9} q_{n}$ に落として一般項を求める。初帰還確率は，直前に距離1の群にいて次に $A$ へ進む確率として表す。

解法2

確率漸化式を使わず、 $A$ からの距離によって頂点を $P, Q, R$ の3群に分け、2歩単位の非帰還経路を数える。 $Q$ から2歩後に再び $Q$ に入る経路は、 $Q \to P \to Q$ の4通りと $Q \to R \to Q$ の3通り、計7通りである。この9通り中7通りのブロックを反復する。

解答

解法1

頂点 $A$ から辺の本数で距離1の頂点 $B, D, E$ の群を $P$ ，距離2の頂点 $C, F, H$ の群を $Q$ ，距離3の頂点 $G$ の群を $R$ と呼ぶ。問題の $p_{n}, q_{n}, r_{n}$ は，時刻 $n$ まで $A$ に戻っていないという条件を含んだまま，それぞれの群にいる確率である。

(1)

時刻1では必ず $P$ のどれかにいるので $p_{1} = 1, q_{1} = 0, r_{1} = 0$ である。 $P$ の頂点からは，1本が $A$ へ戻る辺，残り2本が $Q$ へ進む辺である。したがって $p_{2} = 0, q_{2} = \frac{2}{3}, r_{2} = 0$ である。

次に， $Q$ の頂点からは2本が $P$ へ，1本が $R$ へ向かう。よって $p_{3} = \frac{2}{3} q_{2} = \frac{4}{9}, q_{3} = 0, r_{3} = \frac{1}{3} q_{2} = \frac{2}{9}$ である。

(2)

$n ≧ 1$ で， $A$ へ戻らない道だけを数えると，遷移は

p_{n + 1} = \frac{2}{3} q_{n}, q_{n + 1} = \frac{2}{3} p_{n} + r_{n}, r_{n + 1} = \frac{1}{3} q_{n}

である。第2式に第1式と第3式を2時刻分ずらして用いると

q_{n + 2} = \frac{2}{3} p_{n + 1} + r_{n + 1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} q_{n} + \frac{1}{3} q_{n} = \frac{7}{9} q_{n}

を得る。 $q_{2} = 2/3$ であるから， $m ≧ 1$ について $q_{2 m} = \frac{2}{3} (\frac{7}{9})^{m - 1}$ である。また偶数時刻には $P, R$ にはいないので $p_{2 m} = 0, r_{2 m} = 0$ である。

一方，奇数時刻については $p_{2 m + 1} = \frac{2}{3} q_{2 m} = \frac{4}{9} (\frac{7}{9})^{m - 1}$ および $r_{2 m + 1} = \frac{1}{3} q_{2 m} = \frac{2}{9} (\frac{7}{9})^{m - 1}$ であり， $q_{2 m + 1} = 0$ である。したがって

p_{2 m} = 0, q_{2 m} = \frac{2}{3} (\frac{7}{9})^{m - 1}, r_{2 m} = 0

p_{2 m + 1} = \frac{4}{9} (\frac{7}{9})^{m - 1}, q_{2 m + 1} = 0, r_{2 m + 1} = \frac{2}{9} (\frac{7}{9})^{m - 1}

である。

(3)

時刻 $2 m$ で初めて $A$ に戻るには，時刻 $2 m - 1$ まで $A$ に戻らず，時刻 $2 m - 1$ に距離1の群 $P$ にいて，次の1歩で $A$ へ進めばよい。 $P$ の各頂点から $A$ へ進む確率は $1/3$ である。 $m = 1$ のときは，時刻1で必ず $P$ にいるから $s_{1} = \frac{1}{3}$ である。 $m ≧ 2$ のときは(2)より

s_{m} = \frac{1}{3} p_{2 m - 1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} (\frac{7}{9})^{m - 2} = \frac{4}{27} (\frac{7}{9})^{m - 2}

である。

解法2

頂点を $A$ からの距離でまとめ、距離1、2、3の頂点群をそれぞれ $P, Q, R$ とする。

(1)

最初の1歩では必ず $P$ にいる。 $P$ からは3本中2本が $Q$ 、1本が $A$ へ向かうので

(p_{2}, q_{2}, r_{2}) = (0, \frac{2}{3}, 0) .

さらに $Q$ からは3本中2本が $P$ 、1本が $R$ へ向かうため

(p_{3}, q_{3}, r_{3}) = (\frac{4}{9}, 0, \frac{2}{9}) .

(2)

$Q$ の1頂点から2歩進み、途中で $A$ を通らず再び $Q$ に入る経路を数える。

Q \to P \to Q

は $2 \cdot 2 = 4$ 通り、

Q \to R \to Q

は $1 \cdot 3 = 3$ 通りである。よって全 $3^{2} = 9$ 通り中7通りが非帰還条件を保つ。時刻2で $Q$ にいる確率が $2/3$ なので

q_{2 m} = \frac{2}{3} (\frac{7}{9})^{m - 1} .

偶数時刻には $P, R$ にいない。また $Q$ からの次の1歩を数えると

p_{2 m} p_{2 m + 1} = 0, = \frac{4}{9} (\frac{7}{9})^{m - 1}, q_{2 m} q_{2 m + 1} = \frac{2}{3} (\frac{7}{9})^{m - 1}, = 0, r_{2 m} r_{2 m + 1} = 0, = \frac{2}{9} (\frac{7}{9})^{m - 1} .

(3)

時刻 $2 m$ に初めて $A$ へ戻るには、直前まで帰還せず $P$ にいて、最後に確率 $1/3$ で $A$ へ進めばよい。したがって

s_{1} = \frac{1}{3},

また $m ≧ 2$ では

s_{m} = \frac{1}{3} p_{2 m - 1} = \frac{4}{27} (\frac{7}{9})^{m - 2} .

名古屋大学 2017年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2017年度
文系数学第2問