名古屋大学 2018年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a, b$ を実数とし、少なくとも一方は0でないとする。

(1)次の2つの連立不等式のいずれかが表す領域が三角形となるために、 $a, b$ が満たすべき条件を求めよ。さらに、その条件を満たす点 $(a, b)$ の範囲を座標平面上に図示せよ。

⎩ ⎨ ⎧ 3 x + 2 y + 4 ≧ 0, x - 2 y + 4 ≧ 0, a x + b y ≧ 0 または ⎩ ⎨ ⎧ 3 x + 2 y + 4 ≧ 0, x - 2 y + 4 ≧ 0, a x + b y ≦ 0.

(2)(1) の三角形の面積を $S$ とするとき、 $S$ を $a, b$ を用いて表せ。

(3)

S ≧ 4

を示せ。

出典：名古屋大学 2018年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

解法1

はじめの2直線の交点 $V = (- 2, 1)$ から、共通領域の境界となる2本の半直線を方向ベクトル $(2, - 3)$ 、 $(2, 1)$ で表す。直線 $a x + b y = 0$ が両方の半直線を正の位置で切ることが、どちらか一方の符号の半平面で三角形を作れるための必要十分条件である。交点パラメータ $t, s$ を求め、条件を $(a, b)$ 平面の2つの扇形へ整理する。面積は2辺の行列式で計算する。

解法2

頂点 $V = (- 2, 1)$ を原点とする斜交座標を入れる。共通領域の点を $V + u (2, - 3) + v (2, 1) (u, v ≧ 0)$ と表すと、直線 $a x + b y = 0$ は $u, v$ 平面で切片形の一次方程式になる。両切片が正である条件と、座標変換の面積倍率8から、条件と面積を同時に導く。

解答

解法1

(1)

固定された2直線の交点を $V$ とすると

V = (- 2, 1) .

共通領域の境界となる2本の半直線は

V + t (2, - 3) V + s (2, 1) (t ≧ 0), (s ≧ 0)

である。実際、第1の半直線上では $3 x + 2 y + 4 = 0$ 、第2の不等式は $8 t ≧ 0$ となる。第2の半直線でも同様である。

直線 $a x + b y = 0$ が2本の半直線をともに正の位置で切れば、 $a x + b y ≧ 0$ または $a x + b y ≦ 0$ の適切な一方を選ぶことで三角形が得られる。逆に三角形ができるなら、この直線は両半直線を正の位置で切らなければならない。

各交点で

a (- 2 + 2 t) + b (1 - 3 t) = 0, a (- 2 + 2 s) + b (1 + s) = 0

だから

t = \frac{2 a - b}{2 a - 3 b}, s = \frac{2 a - b}{2 a + b} .

したがって必要十分条件は

\frac{2 a - b}{2 a - 3 b} > 0, \frac{2 a - b}{2 a + b} > 0.

3つの式 $2 a - b, 2 a - 3 b, 2 a + b$ がすべて同符号になる条件を整理すると

⎩ ⎨ ⎧ a > 0, - 2 a < b < \frac{2}{3} a または ⎩ ⎨ ⎧ a < 0, \frac{2}{3} a < b < - 2 a .

境界上では直線が頂点 $V$ を通るか、一方の半直線と平行になるため、いずれも含まれない。

(2)

三角形の $V$ から出る2辺は

t (2, - 3), s (2, 1)

である。したがって

S = \frac{1}{2} 2 t - 3 t 2 s s = 4 t s .

(1) の条件のもとで $t, s > 0$ だから

S = \frac{4 ( 2 a - b ) ^{2}}{( 2 a - 3 b ) ( 2 a + b )} .

(3)

(1) の範囲では

(2 a - 3 b) (2 a + b) > 0.

また

(2 a - b)^{2} - (2 a - 3 b) (2 a + b) = 4 b^{2} ≧ 0.

よって正の分母で割ると

\frac{( 2 a - b ) ^{2}}{( 2 a - 3 b ) ( 2 a + b )} ≧ 1.

(2) より

S ≧ 4.

等号は $b = 0$ のときに成り立つ。

解法2

(1)

共通領域の点を

(x, y) = (- 2, 1) + u (2, - 3) + v (2, 1), u, v ≧ 0

と表す。このとき

a x + b y = - (2 a - b) + (2 a - 3 b) u + (2 a + b) v .

したがって直線 $a x + b y = 0$ は

(2 a - 3 b) u + (2 a + b) v = 2 a - b

となる。

この直線が $u$ 軸、 $v$ 軸の正の部分を切るための条件は

\frac{2 a - b}{2 a - 3 b} > 0, \frac{2 a - b}{2 a + b} > 0.

これを符号で整理して

a > 0, - 2 a < b < \frac{2}{3} a

または

a < 0, \frac{2}{3} a < b < - 2 a

を得る。

(2)

$u, v$ 平面でできる三角形の2切片は

t = \frac{2 a - b}{2 a - 3 b}, s = \frac{2 a - b}{2 a + b}

だから、その面積は $t s /2$ である。座標変換の面積倍率は

2 - 3 21 = 8

なので

S = 8 \cdot \frac{t s}{2} = \frac{4 ( 2 a - b ) ^{2}}{( 2 a - 3 b ) ( 2 a + b )} .

(3)

分子を分母で割る形にすると

S = 4 (1 + \frac{4 b ^{2}}{( 2 a - 3 b ) ( 2 a + b )}) .

(1) の条件のもとでは分母が正であるから、括弧内は1以上である。よって

S ≧ 4.

名古屋大学 2018年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2018年度
文系数学第1問