名古屋大学 2018年度文系数学第2問解答・解説

問題

(1)整数 $α, β$ の少なくとも一方が奇数のとき、

α^{2} + α β + β^{2}

は奇数であることを示せ。

(2) $n$ を奇数とする。このとき

α^{2} + α β + β^{2} = 2 n

を満たす整数 $α, β$ は存在しないことを示せ。

(3) $c$ を実数とする。このとき3次方程式

x^{3} - 2018 x + c = 0

の解のうち、整数であるものは1個以下であることを示せ。

出典：名古屋大学 2018年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

解法1

(1)は $α, β$ の偶奇を3通りに分ける。(2)は、少なくとも一方が奇数なら左辺が奇数、両方が偶数なら左辺が4の倍数となる一方、右辺 $2 n$ は4で割ると2余ることを使う。(3)は異なる2整数解 $r, s$ があると仮定して方程式の差を取り、 $r^{2} + r s + s^{2} = 2018 = 2 \cdot 1009$ を導いて (2) に反することを示す。

解法2

(1)は式を $2$ を法として $(α + 1) (β + 1) - 1$ に変形し、一方が奇数なら積が偶数になることを使う。(2)は左辺が偶数なら両変数が偶数でなければならないことを先に確定し、4を法として矛盾させる。(3)は1つの整数解で多項式を割った商を用い、別の整数解がある場合に (2) の禁止式が現れることを示す。

解答

解法1

(1)

平方はもとの整数と同じ偶奇をもつので

α^{2} + α β + β^{2} \equiv α + α β + β (mod 2) .

$(α, β)$ の偶奇は

(1, 0), (0, 1), (1, 1)

のいずれかである。右辺の余りはそれぞれ

1, 1, 1 + 1 + 1 \equiv 1 (mod 2) .

したがって $α^{2} + α β + β^{2}$ は奇数である。

(2)

$n$ は奇数なので

2 n \equiv 2 (mod 4) .

もし $α, β$ の少なくとも一方が奇数なら、(1) より左辺は奇数となり、偶数 $2 n$ に等しくない。

一方、 $α, β$ がともに偶数なら $α = 2 u, β = 2 v$ と書ける。このとき

α^{2} + α β + β^{2} = 4 (u^{2} + uv + v^{2})

は4の倍数であり、 $2 n \equiv 2 (mod 4)$ に等しくない。よって条件を満たす整数 $α, β$ は存在しない。

(3)

異なる2つの整数解 $r, s$ があると仮定する。すると

r^{3} - 2018 r + c = 0, s^{3} - 2018 s + c = 0.

両式を引いて

(r - s) (r^{2} + r s + s^{2} - 2018) = 0.

$r \neq = s$ だから

r^{2} + r s + s^{2} = 2018 = 2 \cdot 1009.

$1009$ は奇数であるため、これは (2) に $n = 1009, α = r, β = s$ を代入した式に反する。したがって整数解は1個以下である。

解法2

(1)

$2$ を法として

α^{2} + α β + β^{2} \equiv α + α β + β = (α + 1) (β + 1) - 1 (mod 2) .

$α, β$ の少なくとも一方が奇数なら、 $α + 1, β + 1$ の少なくとも一方は偶数である。よって積は偶数であり、上式は $1 (mod 2)$ となる。

(2)

仮に

α^{2} + α β + β^{2} = 2 n

が成り立つとする。右辺は偶数なので、(1) の対偶から $α, β$ はともに偶数である。すると左辺は4の倍数である。しかし奇数 $n$ に対して $2 n$ は4の倍数ではない。これは矛盾である。

(3)

整数 $r$ が方程式の解だとする。 $c = - r^{3} + 2018 r$ を代入すると

x^{3} - 2018 x - r^{3} + 2018 r = (x - r) (x^{2} + r x + r^{2} - 2018) .

もし $r$ と異なる整数解 $s$ も存在すれば

s^{2} + r s + r^{2} = 2018 = 2 \cdot 1009

となるが、(2) に反する。よって整数解は高々1個である。

名古屋大学 2018年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2018年度
文系数学第2問