名古屋大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

平方はもとの整数と同じ偶奇をもつので$${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2\equiv \alpha +\alpha \beta +\beta (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)\mathrm{.}$$$(\alpha ,\beta )$ の偶奇は$$(1,0),(0,1),(1,1)$$のいずれかである。右辺の余りはそれぞれ$$1,1,1+1+1\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)\mathrm{.}$$したがって ${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2$ は奇数である。

(2)

$n$ は奇数なので$$2n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\mathrm{.}$$もし $\alpha ,\beta$ の少なくとも一方が奇数なら、(1) より左辺は奇数となり、偶数 $2n$ に等しくない。

一方、$\alpha ,\beta$ がともに偶数なら $\alpha =2u,\beta =2v$ と書ける。このとき$${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=4(u^2+uv+v^2)$$は4の倍数であり、$2n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ に等しくない。よって条件を満たす整数 $\alpha ,\beta$ は存在しない。

(3)

異なる2つの整数解 $r,s$ があると仮定する。すると$$r^3-2018r+c=0,s^3-2018s+c=0.$$両式を引いて$$(r-s)(r^2+rs+s^2-2018)=0.$$$r\mathrm{\ne }s$ だから$$r^2+rs+s^2=2018=2\cdot 1009.$$$1009$ は奇数であるため、これは (2) に $n=1009,\alpha =r,\beta =s$ を代入した式に反する。したがって整数解は1個以下である。

(1) は式を $2$ を法として $(\alpha +1)(\beta +1)-1$ に変形し、一方が奇数なら積が偶数になることを使う。(2)は左辺が偶数なら両変数が偶数でなければならないことを先に確定し、4を法として矛盾させる。(3)は1つの整数解で多項式を割った商を用い、別の整数解がある場合に (2) の禁止式が現れることを示す。

(1)

$2$ を法として$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2}& {\displaystyle \equiv \alpha +\alpha \beta +\beta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\alpha +1)(\beta +1)-1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)\mathrm{.}}\end{array}$$$\alpha ,\beta$ の少なくとも一方が奇数なら、$\alpha +1,\beta +1$ の少なくとも一方は偶数である。よって積は偶数であり、上式は $1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ となる。

(2)

仮に$${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=2n$$が成り立つとする。右辺は偶数なので、(1) の対偶から $\alpha ,\beta$ はともに偶数である。すると左辺は4の倍数である。しかし奇数 $n$ に対して $2n$ は4の倍数ではない。これは矛盾である。

(3)

整数 $r$ が方程式の解だとする。$c=-r^3+2018r$ を代入すると$$x^3-2018x-r^3+2018r=(x-r)(x^2+rx+r^2-2018)\mathrm{.}$$もし $r$ と異なる整数解 $s$ も存在すれば$$s^2+rs+r^2=2018=2\cdot 1009$$となるが、(2) に反する。よって整数解は高々1個である。