名古屋大学 2022年度文理共通数学文系第1問・理系第1問解答・解説

問題

$a, b$ を実数とする。

(1) 整式 $x^{3}$ を2次式 $(x - a)^{2}$ で割ったときの余りを求めよ。

(2) 実数を係数とする2次式 $f (x) = x^{2} + α x + β$ で整式 $x^{3}$ を割ったときの余りが $3 x + b$ とする。 $b$ の値に応じて，このような $f (x)$ が何個あるかを求めよ。

出典：名古屋大学 2022年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第1問・理系第1問

方針

解法1

(1)は余りを $p x + q$ とおき、 $x^{3} - (p x + q)$ が $(x - a)^{2}$ で割り切れる条件を、 $x = a$ での値と微分係数がともに0になる条件として処理する。(2)は $f (x) = x^{2} + α x + β$ で割った余りを合同式 $x^{2} \equiv - α x - β$ から求める。係数比較により $β = α^{2} - 3$ 、 $b = α^{3} - 3 α$ となるため、最後は3次関数 $h (α) = α^{3} - 3 α$ の実数解の個数を増減で数える。

解法2

(1)は $x = a + t$ とおいて二項展開し、 $t^{2}$ 以上の項を除くことで余りを直接読む。(2)は筆算に相当する恒等式で余りを求める。得られる $b = α^{3} - 3 α$ については微分を使わず、差の因数分解から3区間での単調性を示して水平線との交点数を数える。

解答

解法1

(1)

$x^{3}$ を $(x - a)^{2}$ で割った余りを $p x + q$ とおく。このとき $x^{3} - (p x + q)$ は $(x - a)^{2}$ で割り切れる。したがって $x = a$ を代入した値が0であり、さらに微分した式も $x = a$ で0になる。

まず値から $a^{3} - (p a + q) = 0$ すなわち $p a + q = a^{3}$ である。次に微分すると $3 x^{2} - p$ であるから、 $x = a$ で $3 a^{2} - p = 0$ となる。よって $p = 3 a^{2}$ であり、これを $p a + q = a^{3}$ に代入して $3 a^{3} + q = a^{3}$ だから $q = - 2 a^{3}$ である。

したがって求める余りは $3 a^{2} x - 2 a^{3}$ である。

(2)

$f (x) = x^{2} + α x + β$ で割ることを考える。 $f (x)$ を法として $x^{2} \equiv - α x - β$ である。したがって

x^{3} = x \cdot x^{2} \equiv x (- α x - β) = - α x^{2} - β x \equiv - α (- α x - β) - β x = (α^{2} - β) x + α β

である。

この余りが $3 x + b$ であるから、係数を比較して $α^{2} - β = 3, α β = b$ を得る。よって $β = α^{2} - 3$ であり、 $b = α (α^{2} - 3) = α^{3} - 3 α$ である。

逆に、実数 $α$ が $b = α^{3} - 3 α$ を満たせば、 $β = α^{2} - 3$ とおくことで、条件を満たす2次式 $f (x) = x^{2} + α x + β$ がただ1つ定まる。したがって、求める個数は方程式 $α^{3} - 3 α = b$ の実数解の個数に等しい。 $h (α) = α^{3} - 3 α$ とおくと $h^{'} (α) = 3 α^{2} - 3 = 3 (α - 1) (α + 1)$ である。よって $h$ は

(- \infty, - 1) で増加, (- 1, 1) で減少, (1, \infty) で増加

する。また $h (- 1) = 2, h (1) = - 2$ である。

したがって水平線 $y = b$ との交点の個数を考えると、条件を満たす $f (x)$ の個数は

⎩ ⎨ ⎧ 123 (b < - 2 または 2 < b), (b = - 2 または b = 2), (- 2 < b < 2)

である。

解法2

(1)

$t = x - a$ とおくと $x = a + t$ である。二項展開により

x^{3} = (a + t)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} t + 3 a t^{2} + t^{3} .

$(x - a)^{2} = t^{2}$ で割った余りには $t^{2}$ 以上の項は残らない。したがって余りは

a^{3} + 3 a^{2} t = a^{3} + 3 a^{2} (x - a) = 3 a^{2} x - 2 a^{3}

である。

(2)

多項式の筆算を恒等式で書くと

x^{3} = (x^{2} + α x + β) (x - α) + (α^{2} - β) x + α β

である。したがって余りが $3 x + b$ であるための必要十分条件は

α^{2} - β = 3, α β = b .

よって

β = α^{2} - 3, b = α^{3} - 3 α

となる。各 $α$ に対して $β$ は一意に決まるから、2次式の個数は

h (α) = b, h (t) = t^{3} - 3 t

の実数解の個数に等しい。

ここでは微分を使わずに $h$ の動きを調べる。 $s < t$ に対して

h (t) - h (s) = (t - s) (t^{2} + t s + s^{2} - 3)

である。 $s < t ≦ - 1$ または $1 ≦ s < t$ なら $t^{2} + t s + s^{2} > 3$ なので $h (t) > h (s)$ である。一方、 $- 1 ≦ s < t ≦ 1$ では $t^{2} + t s + s^{2} < 3$ なので $h (t) < h (s)$ である（端点を含む等号の場合も区間全体の単調性を損なわない）。

したがって $h$ は $(- \infty, - 1]$ で増加、 $[- 1, 1]$ で減少、 $[1, \infty)$ で増加する。また

h (- 1) = 2, h (1) = - 2.

よって水平線 $y = b$ との交点数は

⎩ ⎨ ⎧ 123 (b < - 2 または b > 2), (b = \pm 2), (- 2 < b < 2)

であり、これが求める2次式 $f (x)$ の個数である。

名古屋大学 2022年度文理共通数学 文系第1問・理系第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

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