問題
1つのサイコロを3回投げる。1回目に出る目を，2回目に出る目を，3回目に出る目をとする。なおサイコロは1から6までの目が等しい確率で出るものとする。
(1) となる確率を求めよ。
(2) とが互いに素となる確率を求めよ。
方針
解法1
全事象は の 通りである。(1)は不等式を に直し、 と に分けて、各 で許される の範囲を数える。(2)は が偶数であることから が奇数でなければならず、まず が奇数に限られる。そのうえで、奇数素因数について を使い、条件を に帰着して数える。
解法2
(1)は ではなく積 を先に固定し、許される の個数を に分ける。(2)はユークリッドの互除法の考えで、互いに素の条件を が奇数かつ に言い換え、今度は の素因数から を数える。
解答
解法1
(1)
条件 は と同値である。 のときは左辺が0なので、任意の で条件が成り立つ。したがって 通りである。 のときは である。各 について、 を満たす組の個数を数えると
である。たとえば の場合は の8通りである。
したがって有利な場合は 通りであり、求める確率は である。
(2)
とおく。 は偶数であるから、 が偶数なら と は互いに素でない。 は偶数なので、 が奇数であるためには が奇数、すなわち でなければならない。
以下、 は奇数とする。奇数の素数 が を割るとき、 である。 なので、 は と同値である。また、 のときは である。したがって と が互いに素であるための条件は である。 を が3や5で割り切れるかで分類する。
である。よって有利な場合は 通りである。したがって求める確率は である。
解法2
(1)
とおく。条件は
である。
なら6個の がすべて可能である。このような は の3組である。 なら であり、 の各々に3個の がある。 なら であり、 の各々に2個の がある。
最後に なら
であるから だけが可能である。この範囲の は 組である。したがって有利な場合は
通りであり、求める確率は
である。
(2)
, とおく。 と が互いに素なら、偶数 に対して は奇数でなければならない。よって は奇数、すなわち
である。
この条件のもとでは は奇数なので、共通素因数として2を考える必要はない。奇素数 が と をともに割れば であり、逆に が と をともに割れば である。したがって
ここで を先に固定する。 は3でも5でも割り切れないので、 の9組がすべて可能である。 では に3を含められず、 の4組ずつである。 では に5を含められず、 の4組である。よって有利な場合は
通りであり、求める確率は
である。