名古屋大学 2023年度 前期日程 一般選抜文系数学 第1問

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)-g(x)}& {\displaystyle =x^3-(a+2)x^2+(a-2)x+2a+1-(-x^2+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^3-(a+1)x^2+(a-2)x+2a}\end{array}$$である。これを因数分解すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x-a)(x-2)(x+1)}& {\displaystyle =(x-a)(x^2-x-2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^3-(a+1)x^2+(a-2)x+2a}\end{array}$$だから $$f(x)-g(x)=(x-a)(x-2)(x+1)$$ である。

(2) $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の共有点の $x$ 座標は $(x-a)(x-2)(x+1)=0$ の実数解である。$a$ は実数なので，通常は $a,2,-1$ の3つが異なる実数解となり，共有点は3個である。

共有点が2個になるのは，この3つのうち2つが一致するときである。したがって $$a=2\text{または}a=-1$$ である。

(3)
まず $a=2$ のときを調べる。このとき $f(x)=x^3-4x^2+5$ であり，$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-8x=x(3x-8)$ である。$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $$+(x<0),-(0<x<\frac{8}{3}),+(x>\frac{8}{3})$$ であるから，$x=0$ で極大，$x=8\mathrm{/}3$ で極小となる。極大値は $f(0)=5>1$ である。

次に $a=-1$ のとき $f(x)=x^3-x^2-3x-1$ であり，$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2x-3$ である。極大を与える点は $$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$ で，その極大値は $$f\left(\frac{1-\sqrt{10}}{3}\right)=\frac{-56+20\sqrt{10}}{27}$$ である。ここで $$20\sqrt{10}<83$$ だから $$\frac{-56+20\sqrt{10}}{27}<1$$ である。よって条件を満たすのは $a=2$ だけである。 $a=2$ のとき $f(x)-g(x)=(x-2{)}^2(x+1)$ であるから，共有点は $x=-1,2$ に対応する2点である。実際 $g(-1)=0,g(2)=-3$ なので，共有点は $(-1,0),(2,-3)$ である。また $x=2$ は重解であるから，2つのグラフは $(2,-3)$ で接する。 $f$ の特徴点は$$(0,5)\text{で極大},(\frac{8}{3},-\frac{121}{27})\text{で極小}$$である。$g(x)=-x^2+1$ は頂点 $(0,1)$ をもつ下に開く放物線である。さらに $f(x)-g(x)=(x-2{)}^2(x+1)$ より，$x<-1$ では $f(x)<g(x)$，$x>-1$ では $f(x)\geqq g(x)$ で，$x=2$ では接する。したがって，上の共有点，接点，極大・極小，放物線の頂点を用いて同じ座標平面に図示すればよい。

(1) (2) は $-1,2,a$ を根として因数分解する。(3) では $a=-1$ の極大値を根号で直接計算せず，$f-g=(x+1{)}^2(x-2)$ と $g(x)\leqq 1$ を組み合わせて除外する。$a=2$ では導関数から極大・極小を決め，因数分解の符号で2曲線の上下関係を描く。

(1)
直接代入すると $f(x)-g(x)$ は $x=-1,2,a$ で0になる3次式で，最高次係数は1である。よって$$f(x)-g(x)=(x+1)(x-2)(x-a)\mathrm{.}$$(2)
共有点の $x$ 座標は $-1,2,a$ である。共有点がちょうど2個となるのはこのうち2つが一致するときだから$$a=-1\text{または}a=2$$である。

(3)
$a=-1$ なら$$f(x)-g(x)=(x+1{)}^2(x-2)\mathrm{.}$$$f$ の極大点は $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2x-3=0$ の小さい方の根であり，その根は0より小さい。したがって極大点では $x<2$ なので$$f(x)\leqq g(x)=-x^2+1\leqq 1.$$よって『極大値は1より大きい』という条件を満たさない。

$a=2$ なら$$f(x)=x^3-4x^2+5,f^{\mathrm{\prime }}(x)=x(3x-8)\mathrm{.}$$したがって $x=0$ で極大値5，$x=8\mathrm{/}3$ で極小値 $-121\mathrm{/}27$ をとる。共有点は$$(-1,0),(2,-3)$$で，後者では $f-g=(x+1)(x-2{)}^2$ が重根をもつため接する。また $x<-1$ では $f<g$，$x>-1$ では $f\geqq g$ である。以上の特徴点と上下関係から，標準解法の図のようになる。