Evolton
方針
カードが取り除かれるかどうかは，残りカード枚数と出た数字の大小だけで決まる。(1) は復元抽出なので，最初の5回は必ず取り除かれて残り3枚になり，最後3回でちょうど2回取り除かれる確率を，状態ごとの確率で数える。(2) は非復元で8回後に0枚にするには8回すべてで取り除かれる必要がある。後ろから見ると，8回目は1，7回目は2以下，6回目は3以下という条件になり，残り球の個数を順に数える。
解答
(1)
球を毎回戻すので，各回で1,2,3,4の数字が出る確率はいずれも である。
最初の5回を考える。残りカードの枚数は，試行前に順に である。出る数字は最大でも4なので，この5回は必ずカードが1枚ずつ取り除かれる。したがって5回後の残りカード枚数は3である。
残り3回で最後にカードが1枚だけ残るためには，この3回のうちちょうど2回でカードが取り除かれればよい。ただし，取り除かれる確率は残り枚数によって変わる。
残り枚数が3のとき，数字1,2,3なら取り除かれるので確率は である。残り枚数が2のときは確率 ，残り枚数が1のときは確率 で取り除かれる。
最後3回の取り除かれ方を，取り除く場合を ，取り除かない場合を と書くと，必要なのは の3通りである。それぞれの確率はである。したがって求める確率はである。
(2)
球を戻さない場合，8回の試行後にカードが残っていないためには，8回すべてでカードが取り除かれなければならない。最初の5回は(1)と同じ理由で必ず取り除かれる。したがって，6回目，7回目，8回目に必要な条件だけを調べればよい。
5回取り除かれた後，6回目の前の残りカードは3枚であるから，6回目の数字は3以下でなければならない。7回目の前は2枚なので，7回目の数字は2以下でなければならない。8回目の前は1枚なので，8回目の数字は1でなければならない。
後ろから順に数える。8回目が1である確率は である。この1を取り除いた後，残り7個の中には，数字1が1個，数字2が2個，数字3が2個，数字4が2個ある。
7回目が1である場合，その確率は である。このとき残り6個のうち6回目に許される数字2,3は合わせて4個あるので，6回目の条件を満たす確率は である。
7回目が2である場合，その確率は である。このとき残り6個のうち6回目に許される数字1,2,3は合わせて4個あるので，やはり確率は である。
したがって求める確率はである。
別解
別解（状態漸化式と並びの直接計数）
方針
(1) は『残り 枚からあと 回で1枚にする確率』を状態漸化式で求める。(2) は8個の数字列を同じ数字2個ずつの多重集合順列として数え，最後の3位置の条件を場合分けする。
解答
(1)
最初の5回は必ずカードが1枚ずつ減るので，残り3枚から始める最後の3回だけを考える。 を『残り 枚の状態からあと 回の試行を行って1枚になる確率』とする。 では1回の試行で減る確率が だからただし ， である。
これを順に計算するとであり，(2)
同じ数字2個ずつを区別しない8個の数字列は通りである。8回すべてでカードを取り除くには，6番目が3以下，7番目が2以下，8番目が1であることが必要十分である。
8番目と7番目がともに1のとき，6番目が2なら残りは30通り，3なら30通りで，合計60通りである。8番目が1，7番目が2のとき，6番目が1なら30通り，2なら30通り，3なら60通りで，合計120通りである。
したがって有利な並びは 通りであり，求める確率はである。
総評
目安時間は18分。最初の5回は必ずカードが減ることが出発点である。(1) は成功・失敗列の列挙と状態漸化式で を確認した。(2) は後ろ3回の条件付き確率と多重集合順列の直接計数で を確認した。非復元抽出で分母が毎回変わる点に注意する。