名古屋大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
与えられた三次式は $$x^3-3x^2-50=(x-5)(x^2+2x+10)$$ と因数分解できる。二次式$x^2+2x+10$の判別式は $$2^2-4\cdot 1\cdot 10=-36<0$$ であるから，これは実数解をもたない。したがって，実数解は $x=5$ のみである。

(2)
条件$p+q=pq$が成り立ち，$X=pq$であるから $p+q=X$ でもある。よって，和と積を用いる公式 $$p^3+q^3=(p+q{)}^3-3pq(p+q)$$ に代入して $p^3+q^3=X^3-3X^2$ を得る。したがって $p^3+q^3=X^3-3X^2$ である。

(3)
$p,q$は0でないので，$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ は $$\frac{p+q}{pq}=1$$ と同値である。したがって $p+q=pq$ である。$X=pq$とおくと，(2)より $p^3+q^3=X^3-3X^2$ である。条件$p^3+q^3=50$から $X^3-3X^2=50$ すなわち $X^3-3X^2-50=0$ を得る。(1)より，この方程式の実数解は$X=5$だけである。

よって $pq=5,p+q=5$ である。したがって$p,q$は2次方程式 $u^2-5u+5=0$ の2つの解である。これを解くと $$u=\frac{5\pm \sqrt{25-20}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{5}}{2}$$ である。条件$p<q$より $$(p,q)=(\frac{5-\sqrt{5}}{2},\frac{5+\sqrt{5}}{2})$$ である。