名古屋大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$y=1+x$とおく。$x$が実数を動くとき$y$も実数全体を動く。方程式は $y^n=1+2^n(y-1)$ すなわち $F(y)=y^n-2^{n}y+2^n-1=0$ と書ける。常に $F(1)=1-2^n+2^n-1=0$ である。 $n=1$のとき，もとの方程式は$1+x=1+2x$であるから，解は$x=0$だけである。よって実数解は1個である。

以下$n\geqq 2$とする。 $n$が偶数のとき，$y^n\geqq 0$であり，特に$y<0$では $F(y)=y^n-2^{n}y+2^n-1>0$ である。したがって負の解はない。

また $F^{\mathrm{\prime }}(y)=n{y}^{n-1}-2^n$ であり，$n-1$は奇数なので，$F^{\mathrm{\prime }}(y)=0$は正の実数解を1つだけもつ。さらに $$F(0)=2^n-1>0,F(1)=0,F^{\mathrm{\prime }}(1)=n-2^n<0$$ であるから，$y=1$で横切った後しばらく$F(y)<0$となる。その後$y\to \mathrm{\infty }$で$F(y)\to \mathrm{\infty }$となり，極小点は1つだけなので，$y=1$のほかに正の側でちょうど1つ解をもつ。よって実数解は2個である。 $n\geqq 3$が奇数のとき，$n-1$は偶数である。$F^{\mathrm{\prime }}(y)=0$は $$y=\pm {\left({\displaystyle \frac{2^n}{n}}\right)}^{1\mathrm{/}(n-1)}$$ の2つである。$2^n>n$より，正の方の点は$1$より大きい。 $F(y)\to -\mathrm{\infty }$$(y\to -\mathrm{\infty })$，$F(0)=2^n-1>0$であり，左側の極大点までは増加するので，負の側に解が1つある。また$F(1)=0$であり，$F^{\mathrm{\prime }}(1)=n-2^n<0$だから，$y=1$の直後では$F(y)<0$である。正の極小点を過ぎると$F(y)\to \mathrm{\infty }$となるので，$y=1$のほかに正の側でさらに1つ解がある。よって実数解は3個である。

以上より，求める実数解の個数は$$\{\begin{array}{ll}1& (n=1),\\ 2& (n\text{ が偶数}),\\ 3& (n\geqq 3\text{ が奇数})\end{array}$$である。

$y=1+x$ として $y=1$ を因数として分離する。正の根は等比和の単調性、負の根は偶奇と1変数関数の増減で数える。

$y=1+x$ とおき$$F(y)=y^n-2^{n}y+2^n-1$$とする。$n=1$ では $x=0$ の1個である。以下 $n\geqq 2$ とする。$$F(y)=(y-1)\{1+y+\cdots +y^{n-1}-2^n\}\mathrm{.}$$したがって $y=1$ は常に根である。$y>0$ では$$G(y)=1+y+\cdots +y^{n-1}$$は狭義単調増加し、$G(1)=n<2^n$、$G(y)\to \mathrm{\infty }$ だから、
$G(y)=2^n$ は $y>1$ にただ1根をもつ。よって正の根は計2個である。

$n$ が偶数なら、$y<0$ で$$F(y)=y^n-2^{n}y+2^n-1>0$$だから負の根はない。したがって根は2個である。

$n\geqq 3$ が奇数なら $y=-t(t>0)$ と置く。$$F(-t)=-t^n+2^{n}t+2^n-1=\mathrm{\Phi }(t)\mathrm{.}$$$${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(t)=2^n-n{t}^{n-1}$$は正から負へ1度だけ変わる。しかも $\mathrm{\Phi }(0)=2^n-1>0$、
$\mathrm{\Phi }(t)\to -\mathrm{\infty }$ だから、$\mathrm{\Phi }(t)=0$ は正の範囲にただ1根をもつ。
これは $F$ の負の根1個に対応する。以上から実数解の個数は$$\{\begin{array}{ll}1& (n=1),\\ 2& (n\text{ が偶数}),\\ 3& (n\geqq 3\text{ が奇数})\end{array}$$である。