名古屋大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
放物線は $$y=-x^2+tx+t=-{(x-\frac{t}{2})}^2+\frac{t^2}{4}+t$$ と平方完成できる。よって$y$座標が最大となる点は頂点であり，$P(\frac{t}{2},\frac{t^2}{4}+t)$ である。

(2) $$X=\frac{t^2}{4}+t$$ とおく。$t\mathrm{\ne }0$なので，点$P$の$x$座標$t\mathrm{/}2$は0でない。したがって直線$OP$の傾きは $$\frac{X}{t\mathrm{/}2}=\frac{\frac{t^2}{4}+t}{t\mathrm{/}2}=\frac{t}{2}+2$$ であり，直線$l$の方程式は $$y=(\frac{t}{2}+2)x$$ である。

これと放物線$C$との交点の$x$座標は $$-x^2+tx+t=(\frac{t}{2}+2)x$$ を満たす。整理すると $$x^2-(\frac{t}{2}-2)x-t=0$$ である。この方程式の一つの解は$P$の$x$座標$x=\frac{t}{2}$である。もう一つの解を$x_Q$とすると，解と係数の関係より $$\frac{t}{2}\cdot x_Q=-t$$ である。$t\mathrm{\ne }0$より $x_Q=-2$ である。

この点が$P$と異なるには $$-2\mathrm{\ne }\frac{t}{2}$$ すなわち $t\mathrm{\ne }-4$ である。問題の仮定で$t\mathrm{\ne }0$なので，求める条件は $t\mathrm{\ne }-4$ である。このとき，$Q$の$y$座標は直線$l$に$x=-2$を代入して $$y_Q=-2(\frac{t}{2}+2)=-t-4$$ である。したがって $Q=(-2,-t-4)$ である。

(3)
$A(-1,-2)$である。まず $$P(\frac{t}{2},X),Q=(-2,-t-4)$$ を用いて距離の2乗を計算する。 $$A{P}^2={(\frac{t}{2}+1)}^2+(X+2{)}^2$$ であり，$$A{Q}^2=(-2+1{)}^2+(-t-4+2{)}^2=1+(t+2{)}^2$$ である。したがって $$A{P}^2-A{Q}^2={(\frac{t}{2}+1)}^2+(X+2{)}^2-1-(t+2{)}^2$$ である。$X=\frac{t^2}{4}+t$を代入して整理すると $$A{P}^2-A{Q}^2=\frac{t(t+2{)}^2(t+4)}{16}$$ となる。

一方，$$X=\frac{t^2}{4}+t=\frac{t(t+4)}{4}$$ であり，さらに $$X+1=\frac{t^2}{4}+t+1=\frac{(t+2{)}^2}{4}$$ である。よって $A{P}^2-A{Q}^2=X(X+1)$ である。

$AP<AQ$は $A{P}^2-A{Q}^2<0$ と同値であるから，$X(X+1)<0$ すなわち $-1<X<0$ である。ここで $$X=\frac{(t+2{)}^2}{4}-1$$ なので，$$-1<\frac{(t+2{)}^2}{4}-1<0$$ である。左側の不等式は$(t+2{)}^2>0$，すなわち$t\mathrm{\ne }-2$を意味し，右側の不等式は $(t+2{)}^2<4$ すなわち $-4<t<0$ を意味する。よって求める条件は $-4<t<-2,-2<t<0$ である。

$t=2$の場合の配置例。$P$は頂点，$Q$は直線$OP$と$C$のもう一つの共有点である。