名古屋大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 方程式・不等式文系数学 第3問(a)

$X=x^2$とおくと$$X^2+(8-2p)X+p=0$$となる。もとの方程式が相異なる4個の実数解をもつためには，この二次方程式が相異なる正の2解をもつ必要がある。その2解を$$0<r<R$$とすると，もとの4解は小さい順に$$-\sqrt{R},-\sqrt{r},\sqrt{r},\sqrt{R}$$である。

これらが等差数列をなすための条件は$$\sqrt{R}-\sqrt{r}=2\sqrt{r},$$すなわち$$R=9r$$である。解と係数の関係より$$r+R=2p-8,rR=p\mathrm{.}$$$R=9r$を代入すると$$10r=2p-8,9r^2=p\mathrm{.}$$よって$$9r^2-5r-4=0,$$$$(9r+4)(r-1)=0.$$$r>0$であるから$r=1$，したがって$$p=9.$$実際，$p=9$のとき$$x^4-10x^2+9=(x^2-1)(x^2-9)$$であり，4解は$$-3,-1,1,3$$となる。これらは相異なる実数で，公差$2$の等差数列である。ゆえに求める値は$p=9$である。

方程式は偶関数型であり，解とともに符号を反転した数も解になる。相異なる4解が等差数列なら，中心は0なので必ず$-3u,-u,u,3u$と書ける。これらを根にもつモニック4次式を展開し，元の式と係数比較する。

4個の実数解を小さい順に$r_1,r_2,r_3,r_4$とする。方程式は$x$を$-x$に替えても変わらないから$$r_1=-r_4,r_2=-r_3\mathrm{.}$$また4解は等差数列で中心が0であるから，ある$u>0$を用いて$$-3u,-u,u,3u$$と表せる。

したがって左辺は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x^2-u^2)(x^2-9u^2)}& {\displaystyle =x^4-10u^2{x}^2+9u^4\mathrm{.}}\end{array}$$元の式と係数を比較して$$8-2p=-10u^2,p=9u^4\mathrm{.}$$$z=u^2>0$とおくと$$p=4+5z,p=9z^2\mathrm{.}$$よって$$9z^2-5z-4=(9z+4)(z-1)=0.$$$z>0$より$z=1$であり，$$p=9.$$このとき解は$-3,-1,1,3$で条件をすべて満たす。よって求める値は$p=9$である。