岡山大学 2018年度 前期理系数学 第3問

(1)
判別式を $D$ とすると$$D=k^2-4(3k-4)=k^2-12k+16=(k-6{)}^2-20$$である。虚数解をもつためには $D<0$ であればよいから$$6-2\sqrt{5}<k<6+2\sqrt{5}$$である。

(2)
虚数解を $\alpha =p+qi$ とおく。ただし $q\mathrm{\ne }0$ である。解と係数の関係から，もう一つの解は $p-qi$ であり，$$2p=k,p^2+q^2=3k-4$$である。よって$$p=\frac{k}{2},q^2=3k-4-\frac{k^2}{4}$$である。

また$${\alpha }^2=(p^2-q^2)+2pqi$$であるから，${\alpha }^4$ の虚部は$$4pq(p^2-q^2)$$である。$q\mathrm{\ne }0$ なので，${\alpha }^4$ が実数になるには$$p=0\text{または}{p}^2=q^2$$であればよい。

$p=0$ なら $k=0$ であり，(1)の範囲に入らない。したがって $p^2=q^2$ を考える。これは$$\frac{k^2}{4}=3k-4-\frac{k^2}{4}$$すなわち$$k^2-6k+8=0$$である。よって$$k=2,4$$であり，いずれも(1)の範囲に含まれる。したがって求める値は$$k=2,4$$である。

虚数解 $\alpha$ が満たす2次方程式を使って ${\alpha }^4$ を一次式 $A\alpha +B$ に次数下げする。$A,B$ は実数なので、$\alpha$ が非実数であることから $A=0$ を得る。

(1)

判別式は$$D=k^2-4(3k-4)=(k-6{)}^2-20.$$虚数解をもつ条件は $D<0$ なので$$(k-6{)}^2<20.$$よって$$6-2\sqrt{5}<k<6+2\sqrt{5}\mathrm{.}$$(2)

$\alpha$ は方程式 $(\ast )$ の解なので$${\alpha }^2=k\alpha -(3k-4)\mathrm{.}$$この関係を繰り返し使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\alpha }^4}& {\displaystyle =\{k\alpha -(3k-4){\}}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =k^2{\alpha }^2-2k(3k-4)\alpha +(3k-4{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{k^3-2k(3k-4)\}\alpha -k^2(3k-4)+(3k-4{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =k(k-2)(k-4)\alpha -k^2(3k-4)+(3k-4{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$末尾の定数項は実数である。$\alpha$ は虚数解、すなわち非実数なので、${\alpha }^4$ が実数になるための必要十分条件は$$k(k-2)(k-4)=0$$である。候補は$$k=0,2,4.$$このうち $k=0$ は (1) の範囲外であり、実際に方程式は $x^2-4=0$ となる。$k=2,4$ はともに (1) の範囲内にある。したがって$$k=2,4\mathrm{.}$$