岡山大学 2018年度理系数学第2問解答・解説

問題

次の経路図を用いてゲームを考える。

図1：経路の図

最初は $A$ から出発する。1回の操作で1個のさいころを投げ、出た目の数字が現在地から出る矢印に書かれていれば、その矢印の方向に進み、なければその場にとどまる。この操作を繰り返し、 $D$ に到達したらゲームは終了する。

例えば $B$ にいるときは、 $1, 3, 5$ の目が出れば $C$ へ進み、 $4$ の目が出れば $D$ へ進み、 $2, 6$ の目が出ればその場にとどまる。 $n$ を自然数とする。次の問いに答えよ。

(1) ちょうど $n$ 回の操作を行った後に $B$ にいる確率を $n$ の式で表せ。

(2) ちょうど $n$ 回の操作を行った後に $C$ にいる確率を $n$ の式で表せ。

(3) ちょうど $n$ 回の操作でゲームが終了する確率を $n$ の式で表せ。

出典：岡山大学 2018年度前期理系第2問

方針

解法1

図から各点での遷移確率を読み取り， $n$ 回後に $B$ にいる確率 $b_{n}$ ， $C$ にいる確率 $c_{n}$ を立てる。 $b_{n}$ は等比数列で， $c_{n}$ は $b_{n}$ から流入する一次の漸化式として解く。ゲーム終了確率は直前に $B$ または $C$ にいる確率から求める。

解法2

$C$ にいる経路を「最初に直接 $C$ へ進む場合」と「いったん $B$ へ進み、ある時点で $C$ へ移る場合」に分けて直接数える。終了時刻は、生存確率 $b_{n} + c_{n}$ の差から求める。

解答

解法1

(1)

図より， $A$ から $B$ へ進む確率は $\frac{1}{2}$ ， $B$ にとどまる確率は $\frac{1}{3}$ である。 $B$ にいるためには，1回目に $A$ から $B$ へ進み，その後 $n - 1$ 回 $B$ にとどまればよい。したがって

b_{n} = \frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{n - 1}

である。

(2)

$n$ 回後に $C$ にいる確率を $c_{n}$ とする。図より，1回後に $C$ にいる確率は $c_{1} = \frac{1}{3}$ である。また $C$ にとどまる確率は $\frac{2}{3}$ ， $B$ から $C$ へ進む確率は $\frac{1}{2}$ であるから

c_{n + 1} = \frac{2}{3} c_{n} + \frac{1}{2} b_{n}

である。(1)の $b_{n}$ を代入して解くと

c_{n} = (\frac{2}{3})^{n - 1} \frac{1}{3} + j = 1 \sum n - 1 (\frac{2}{3})^{n - 1 - j} \frac{1}{4} (\frac{1}{3})^{j - 1}

である。右辺を整理して

c_{n} = \frac{13 \cdot 2 ^{n - 1} - 9}{4 \cdot 3 ^{n}}

を得る。

(3)

1回で終了する確率は， $A$ から $D$ へ進む確率なので $\frac{1}{6}$ である。

$n ≧ 2$ のとき，ちょうど $n$ 回で終了するには， $n - 1$ 回後に $B$ にいて次に $D$ へ進むか， $n - 1$ 回後に $C$ にいて次に $D$ へ進めばよい。図よりそれぞれの確率は $\frac{1}{6}, \frac{1}{3}$ であるから

\frac{1}{6} b_{n - 1} + \frac{1}{3} c_{n - 1} = \frac{13 \cdot 2 ^{n - 2} - 6}{4 \cdot 3 ^{n}}

である。したがって，求める確率は

{\frac{1}{6} \frac{13 \cdot 2 ^{n - 2} - 6}{4 \cdot 3 ^{n}} (n = 1), (n ≧ 2)

である。

解法2

(1)

$n$ 回後に $B$ にいるには、1回目に $A \to B$ と進み、その後は毎回 $B$ にとどまる必要がある。したがって

b_{n} = \frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{n - 1} .

(2)

$n$ 回後に $C$ にいる経路を二つに分ける。

まず、1回目に $A \to C$ と進み、その後 $n - 1$ 回とどまる確率は

\frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{n - 1} .

次に、1回目に $A \to B$ と進み、 $k$ 回目に初めて $B \to C$ と進み、その後 $C$ にとどまる確率は、 $2 ≦ k ≦ n$ に対して

\frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{k - 2} \frac{1}{2} (\frac{2}{3})^{n - k} .

よって

c_{n} = \frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{n - 1} + \frac{1}{4} k = 2 \sum n (\frac{1}{3})^{k - 2} (\frac{2}{3})^{n - k} = \frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{n - 1} + \frac{1}{2} (\frac{2}{3})^{n - 2} (1 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}) = \frac{13 \cdot 2 ^{n - 1} - 9}{4 \cdot 3 ^{n}} .

この式は $n = 1$ のときも $c_{1} = 1/3$ を与える。

(3)

1回で終了する確率は、 $A \to D$ の確率だから

P (T = 1) = \frac{1}{6} .

$n ≧ 1$ で、 $n$ 回後にも終了していない確率を $r_{n}$ とすると

r_{n} = b_{n} + c_{n} = \frac{13 \cdot 2 ^{n - 1} - 3}{4 \cdot 3 ^{n}} .

したがって $n ≧ 2$ では

P (T = n) = r_{n - 1} - r_{n} = \frac{13 \cdot 2 ^{n - 2} - 6}{4 \cdot 3 ^{n}} .

以上より

P (T = n) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{6} \frac{13 \cdot 2 ^{n - 2} - 6}{4 \cdot 3 ^{n}} (n = 1), (n ≧ 2) .

岡山大学 2018年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2018年度
理系数学第2問