岡山大学 2018年度 前期理系数学 第4問

(1)
点 $P$ は線分 $BC$ 上にあるから $-3\leqq s\leqq -1$ である。$AQ:QP=t:(1-t)$ と解釈すると，内分公式より$$Q=(1-t)A+tP=(2(1-t),3t,1+(s-1)t)$$である。したがって球面 $K$ の方程式は$$\{x-2(1-t){\}}^2+(y-3t{)}^2+\{z-1-(s-1)t{\}}^2=9$$である。

(2)
$xy$ 平面と球面の交わりは，中心 $Q$ から $xy$ 平面までの距離 $\mathrm{\mid }1+(s-1)t\mathrm{\mid }$ を用いて，半径の二乗が$$9-\{1+(s-1)t{\}}^2$$の円である。よって$$S_1=\pi [9-\{1+(s-1)t{\}}^2]$$である。

(3)
同様に，$yz$ 平面との交円の半径の二乗は$$9-\{2(1-t){\}}^2$$であるから$$S_2=\pi \{9-4(1-t{)}^2\}$$である。したがって $S_1+S_2$ を最大にすることは$$\{1+(s-1)t{\}}^2+4(1-t{)}^2$$を最小にすることと同じである。これを $t$ で微分して$$2(s-1)\{1+(s-1)t\}-8(1-t)=0$$を得る。よって$$t=\frac{5-s}{(s-1{)}^2+4}$$である。$-3\leqq s\leqq -1$ ではこの値は $0<t<1$ を満たす。

(4)
(3)の値が $\frac{1}{2}$ であればよいから$$\frac{5-s}{(s-1{)}^2+4}=\frac{1}{2}$$である。整理すると$$s^2=5$$である。$-3\leqq s\leqq -1$ より$$s=-\sqrt{5}$$である。

$S_1+S_2$ は、点 $Q$ の $x,z$ 座標の平方和が小さいほど大きい。そこで $Q$ を $xz$ 平面へ射影し、線分上で原点に最も近い点を内積の垂直条件から求める。

(1)

線分 $BC$ 上では$$-3\leqq s\leqq -1.$$また $AQ:QP=t:(1-t)$ より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Q}& {\displaystyle =(1-t)A+tP}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2(1-t),3t,1+(s-1)t)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\{x-2(1-t){\}}^2+(y-3t{)}^2+\{z-1-(s-1)t{\}}^2=9\mathrm{.}$$(2)

中心から $xy$ 平面までの距離は$$\mathrm{\mid }1+(s-1)t\mathrm{\mid }$$である。交円の半径の二乗は$$9-\{1+(s-1)t{\}}^2$$なので$$S_1=\pi [9-\{1+(s-1)t{\}}^2]\mathrm{.}$$(3)

同様に中心から $yz$ 平面までの距離は $2(1-t)$ であるから$$S_2=\pi \{9-4(1-t{)}^2\}\mathrm{.}$$よって$$S_1+S_2=\pi [18-\{1+(s-1)t{\}}^2-4(1-t{)}^2]\mathrm{.}$$これは、$Q$ の $xz$ 平面への射影$$R(t)=(2(1-t),1+(s-1)t)$$と原点との距離が最小のときに最大となる。$R(t)$ は$$U=(2,1),V=(0,s)$$を結ぶ線分上を動き、その方向ベクトルは$$\overrightarrow{UV}=(-2,s-1)$$である。最短点では $\overrightarrow{OR}\perp \overrightarrow{UV}$ だから$$(2(1-t),1+(s-1)t)\cdot (-2,s-1)=0.$$整理して$$(s-5)+\{4+(s-1{)}^2\}t=0.$$したがって$$t=\frac{5-s}{(s-1{)}^2+4}\mathrm{.}$$(4)

中点で最大となるなら、$t=1\mathrm{/}2$ の点が最短点である。中点の射影と方向ベクトルは$$R\left(\frac{1}{2}\right)=(1,\frac{1+s}{2}),\overrightarrow{UV}=(-2,s-1)\mathrm{.}$$垂直条件から$$(1,\frac{1+s}{2})\cdot (-2,s-1)=0.$$したがって$$-2+\frac{s^2-1}{2}=0,s^2=5.$$$-3\leqq s\leqq -1$ より$$s=-\sqrt{5}\mathrm{.}$$