岡山大学 2019年度文系数学第1問解答・解説

問題

$x$ は $0 < x < 1$ を満たす実数とする．三辺の長さが $1,$ $1,$ $2 x$ の二等辺三角形の内接円の半径を $r,$ 外接円の半径を $R$ とする．以下の問いに答えよ．

(1) $r$ と $R$ を $x$ を用いて表せ．

(2) $\frac{r}{R}$ を最大にする $x$ とそのときの $\frac{r}{R}$ の値を求めよ．

出典：岡山大学 2019年度前期文系第1問

高さを三平方の定理で表し，面積を底辺と高さから求める。内接円の半径は面積を半周長で割り，外接円の半径は三角形の面積公式から求める。最後に $r / R$ を $x$ の二次式に整理して最大値を調べる。

対称軸上にある内心と外心を座標で置く。辺への距離から内接円半径を、頂点までの距離の一致から外接円半径を求め、比を平方完成する。

二等辺三角形の底辺は $2 x$ ，等しい二辺はともに $1$ である。底辺に下ろした高さを $h$ とすると，

h = 1 - x^{2}

である。面積を $Δ$ とすると

Δ = \frac{1}{2} \cdot 2 x \cdot 1 - x^{2} = x 1 - x^{2}

であり，半周長は $1 + x$ であるから

r = \frac{Δ}{1 + x} = \frac{x 1 - x ^{2}}{1 + x}

である。また三角形の外接円の半径を $R$ とすると，三辺を用いた面積公式

Δ = \frac{1 \cdot 1 \cdot 2 x}{4 R}

より

R = \frac{1}{2 1 - x ^{2}}

である。

(1)より

\frac{r}{R} = \frac{x 1 - x ^{2}}{1 + x} \cdot 2 1 - x^{2} = 2 x (1 - x)

である。したがって

\frac{r}{R} = 2 x (1 - x) = \frac{1}{2} - 2 (x - \frac{1}{2})^{2}

となる。 $0 < x < 1$ より，これは $x = \frac{1}{2}$ のとき最大となり，最大値は $\frac{1}{2}$ である。

底辺の中点を原点とし

A = (0, h), B = (- x, 0), C = (x, 0), h = 1 - x^{2}

とおく。対称性から内心 $I$ は $I = (0, r)$ と書ける。辺 $A C$ の方程式は

h X + x Y - x h = 0

であり、 $h^{2} + x^{2} = 1$ である。 $I$ から $B C$ までの距離も $A C$ までの距離も $r$ だから

r = x (h - r) .

したがって

r = \frac{x h}{1 + x} = \frac{x 1 - x ^{2}}{1 + x} .

外心を $U = (0, k)$ とおく。 $U A = U C$ より

(h - k)^{2} = x^{2} + k^{2},

したがって $k = (1 - 2 x^{2}) / (2 h)$ である。ゆえに

R = U A = h - k = \frac{1}{2 h} = \frac{1}{2 1 - x ^{2}} .

\frac{r}{R} = \frac{x h}{1 + x} \cdot 2 h = \frac{2 x ( 1 - x ^{2} )}{1 + x} = 2 x (1 - x) .

これを平方完成すると

\frac{r}{R} = \frac{1}{2} - 2 (x - \frac{1}{2})^{2} .

よって $0 < x < 1$ では

x = \frac{1}{2}

のとき最大値 $1/2$ をとる。