岡山大学 2019年度 前期文系数学 第1問

(1)
二等辺三角形の底辺は $2x$，等しい二辺はともに $1$ である。底辺に下ろした高さを $h$ とすると，$$h=\sqrt{1-x^2}$$である。面積を $\mathrm{\Delta }$ とすると$$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot \sqrt{1-x^2}=x\sqrt{1-x^2}$$であり，半周長は $1+x$ であるから$$r=\frac{\mathrm{\Delta }}{1+x}=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{1+x}$$である。また三角形の外接円の半径を $R$ とすると，三辺を用いた面積公式$$\mathrm{\Delta }=\frac{1\cdot 1\cdot 2x}{4R}$$より$$R=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$$である。

(2)
(1)より$$\frac{r}{R}=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{1+x}\cdot 2\sqrt{1-x^2}=2x(1-x)$$である。したがって$$\frac{r}{R}=2x(1-x)=\frac{1}{2}-2{(x-\frac{1}{2})}^2$$となる。$0<x<1$ より，これは $x=\frac{1}{2}$ のとき最大となり，最大値は $\frac{1}{2}$ である。

対称軸上にある内心と外心を座標で置く。辺への距離から内接円半径を、頂点までの距離の一致から外接円半径を求め、比を平方完成する。

(1)
底辺の中点を原点とし$$A=(0,h),B=(-x,0),C=(x,0),h=\sqrt{1-x^2}$$とおく。対称性から内心 $I$ は $I=(0,r)$ と書ける。辺 $AC$ の方程式は$$hX+xY-xh=0$$であり、$h^2+x^2=1$ である。$I$ から $BC$ までの距離も $AC$ までの距離も $r$ だから$$r=x(h-r)\mathrm{.}$$したがって$$r=\frac{xh}{1+x}=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{1+x}\mathrm{.}$$外心を $U=(0,k)$ とおく。$UA=UC$ より$$(h-k{)}^2=x^2+k^2,$$したがって $k=(1-2x^2)\mathrm{/}(2h)$ である。ゆえに$$R=UA=h-k=\frac{1}{2h}=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\mathrm{.}$$(2)$$\frac{r}{R}=\frac{xh}{1+x}\cdot 2h=\frac{2x(1-x^2)}{1+x}=2x(1-x)\mathrm{.}$$これを平方完成すると$$\frac{r}{R}=\frac{1}{2}-2{(x-\frac{1}{2})}^2\mathrm{.}$$よって $0<x<1$ では$$x=\frac{1}{2}$$のとき最大値 $1\mathrm{/}2$ をとる。